¡Buenas, buenas!
Pregunto: ¿cómo se disminuyen la cantidad de palabras para cambiarlas por símbolos en las siguientes demostraciones?
1.\( X\subset{Y}\Longleftrightarrow{X\subseteq{Y}\wedge\exists{u}(u\in{Y}\wedge u\not\in{X})} \)
demostración:
(\( \Rightarrow \)) Supongamos que \( X\subset{Y} \) por definición \( X\neq{Y} \) que significa \( \exists{u}(u\in{X}\wedge u\not\in{Y})\vee(u\in{Y}\wedge u\not\in{X}) \) pero la proposición de la izquierda no sucede por hipótesis, de esto se concluye que \( (u\in{Y}\wedge u\not\in{X})\wedge X\subseteq{Y} \).
(\( \Leftarrow \)) Ahora suponemos que \( X\subseteq{Y}\wedge\exists{u}(u\in{Y}\wedge u\not\in{X}) \), pero en esta sólo hay que fijarse en que si se cumple \( X\subseteq{Y} \), en la definición de \( X\subset{Y} \) entonces en la proposición \( \exists{u}(u\in{X}\wedge u\not\in{Y})\vee(u\in{Y}\wedge u\not\in{X}) \) sólo se cumplirá \( u\not\in{Y})\vee(u\in{Y}\wedge u\not\in{X} \) así que \( X\subseteq{Y}\wedge\exists{u}(u\in{Y}\wedge u\not\in{X})\Rightarrow{X\subset{Y}} \)
2. \( (X\subset{Y}\wedge Y\subseteq{Z} \rightarrow{X\subset{Y}} \).
demostración:
Puesto que si \( x\in{X}\Rightarrow{x\in{Y}}\Rightarrow{x\in{Y}}\Rightarrow{x\subseteq{Z}} \). Ahora \( X\neq{Z} \) puesto que, por la primera parte de la hipótesis \( \exists{u}(u\in{Y}\wedge u\not\in{X}) \) por lo que hay un \( u\in{Z} \) y que \( u\not\in{X} \).
Definiciones: (por si son necesarias)
\( X\subseteq{Y}=_{DF}[u\in{X}\Rightarrow{u\in{Y}}] \)
\( X\subset{Y}=_{DF}[X\subseteq{Y}\wedge X\neq{Y}] \)
¡Gracias por la ayuda!
