[Michel]

Sea AB un arco de 120º en la circunferencia de centro O. Sea C el punto medio de ese arco y H y K los puntos medios de las cuerdas AB y AC.
a) Demostrar que el cuadrilátero OACB es un rombo.
b) Demostrar que AC=2·OH y AB=2·OK.
c) Deducir que las longitudes de las cuerdas AB y AC son inversamente proporcionales a las distancias OH y OK. Demostrar que no ocurre lo mismo para todas las cuerdas de la circunferencia.

[Michel]

a) Si el arco AB vale 120º, los arcos AC y CB valen 60º y los triángulos OAC y OCB son equiláteros, por lo que OACB es un rombo.

b) En el triángulo equilátero OAC, H es el pie de la altura AH, por lo que OC y, por tanto AC, es doble de OH.
Como AB=2·AH, también será AB=2·OK, ya que AH=OK.

c) Se deduce entonces que  \( \displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{2.OH}{2.OK}=\displaystyle\frac{OK}{OH} \)

En general, no hay proporcionalidad, sino que a mayor cuerda corresponde menor distancia al centro y recíprocamente.