[Eleal]

Quisiera una orientación para saber qué está mal en lo que hago frente al problema:

Tenemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la tierra. Una partícula de masa 1 situada en el eje y queda atraída por la tierra con una fuerza \(  \displaystyle\frac{-\mu M }{y^2} \), donde \( \mu   \) es la constante de gravitación universal y M la masa de la tierra. a) determinar la posición de la partícula en función del tiempo si se suelta desde una altura \( y_o \) sobre la superficie terrestre. b)Hallar la rapidez con que impacta la tierra. c) Hallar la rapidez de la partícula que cae a la tierra desde el infinito

Lo que he hecho:
Tenemos que \( y''=\displaystyle\frac{-\mu M}{y^2}  \)(donde y'' respecto a y que corresponde a la aceleración.

Multiplico ambos miembros por \( \displaystyle\frac{dy}{dt} \)
Queda \( y''\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{-\mu M}{y^2} \displaystyle\frac{dy}{dt} \)

Luego \( \displaystyle\frac{d(\bar{y}^2}{2dt}=\displaystyle\frac{-\mu M}{y^2} \displaystyle\frac{dy}{dt} \) (\( \overline{y} \) derivada de y respecto a t)

Integrando ambos lados respecto a t
\( \displaystyle\frac{\overline{y}^2}{2}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{-\mu M}{y^2}\overline{y}dt \)

Hay algo que me da mal o aquí o en los pasos que siguen al integrar lo de la derecha.

[Luis Fuentes]

Hola

 Creo que está bien lo que has hecho.

Saludos.

[Richard R Richard]

Este problema lo había encarado hace tiempo y está bien encaminado , yo tome un camino parecido.
Se puede recorrer el camino para integrar  donde $$\mu=G$$ y $$r_0$$ es la altura inicial

\[ \begin{aligned}
\frac{d v}{d t}&=a(r)\\
\frac{d v}{d r}\frac{d r}{d t}&=a(r)\\
v\frac {d v}{d r}&=a(r),\\
vd v&=a(r)d r,\\
\int_{v_0}^v vd v&=\int_{r_0}^{r} a(r)d r,\\
\frac 1 2 (v^2-v_0^2)&= \int_{r_0}^{r} a(r)d r,\\
v(r)&=\pm\sqrt{v_0^2+2\int_{r_0}^r a(r)d r}.
\end{aligned} \]

donde \( a(r)=-\dfrac{GM}{r^2}
 \)
el radio inicial es \( r_0 \) , y el final \( r_T \)

como sabes de las condiciones contorno que la velocidad inicial es nula \( v_0=0 \)
el sistema de referencia nos dice que debemos tomar la opción de signos

\(  v(r)=-\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0} \right)} \)

luego se recurre a

\[ \begin{aligned}
\frac{d r}{d t}&=v(r),\\
d t&=\frac{d r}{v(r)},\\
\int_0^t d t&=\int_{r_0}^{r_T}\frac{d r}{v(r)},\\
t(r)&=\int_{r_0}^{r_T}\frac{d r}{v(r)}.
\end{aligned}
 \]
\( t(r)=\displaystyle \int\limits_{r_T}^{r_0}\frac{d r}{\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0} \right)}}= \)


y se llega a



$$\boxed{t(r)=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2GM}} \cdot \left ( \arccos \sqrt{\dfrac r{r_0}}+\sqrt{\dfrac r {r_0}-\left ( \dfrac r {r_0} \right )^2} \ \right )}$$

esto para saber el tiempo de caída.


o para saber la posición  Para cada $$t$$, se resuelve numéricamente la primera relación para $$\theta$$, se obtiene t(r) y con los datos podemos operar obtener  numéricamente $$r(t)$$,  algunas sustituciones facilitan trabajar numéricamente  ej Si $$r(0)=r_0$$, defino $$\theta=\arccos\sqrt{\frac{r}{r_0}}$$



Entonces sustituyendo

$$t=\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\theta+\sin\theta\cos\theta\right)\qquad\Leftrightarrow{}\quad  r=r_0\cos^2\theta$$

[ani_pascual]

Hola:

...
$$\boxed{t(r)=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2GM}} \cdot \left ( \arccos \sqrt{\dfrac r{r_0}}+\sqrt{\dfrac r {r_0}-\left ( \dfrac r {r_0} \right )^2} \ \right )}$$

esto para saber el tiempo de caída.


o para saber la posición  Para cada $$t$$, se resuelve numéricamente la primera relación para $$\theta$$, se obtiene t(r) y con los datos podemos operar obtener  numéricamente $$r(t)$$,  algunas sustituciones facilitan trabajar numéricamente  ej Si $$r(0)=r_0$$, defino $$\theta=\arccos\sqrt{\frac{r}{r_0}}$$



Entonces sustituyendo

$$t=\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\theta+\sin\theta\cos\theta\right)\qquad\Leftrightarrow{}\quad  r=r_0\cos^2\theta$$

En un primer momento, interpreté la posición inicial \( y_0, \) como la distancia al centro de la tierra, pero creo que para ser coherentes con el enunciado lo propio es considerar \( y(0)=R_T+y_0 \), por lo que corregiré los resultados obtenidos...


No sé si el resultado al que llego es equivalente... 

Si es \( F=-\dfrac{GM}{y^2}=my'' \) con \( G=\mu=6,6743\cdot 10^{-11}\,Nm^2/kg^2 \) y \( m=1\,kg \)
se tiene
\( y''=-\dfrac{GM}{y^2}. \)
Es una EDO del tipo \(  f(t,y,y',y'')=0 \) en la que no aparece la variable independiente \( t  \), luego se puede hacer el cambio \( y'=p\Longrightarrow y''=\dfrac{dp}{dy}p \), con lo cual la EDO se transforma en
\( \dfrac{dp}{dy}p=-\dfrac{GM}{y^2} \) e integrando respecto a \( y \) se obtiene \( \dfrac{p^2}{2}=\dfrac{GM}{y}+C \).
Si parte del reposo es \( p(0)=y'(0)=0 \) de donde
\( C=-\dfrac{GM}{\textcolor{blue}{R_T+}y_0} \), pues \( y(0)=\textcolor{blue}{R_T+y_0} \), y así
\( p=-\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{R_T+}y_0}\right)}\Longleftrightarrow
y'=-\sqrt{\dfrac{2GM(\textcolor{blue}{R_T+y_0-y)}}{\textcolor{blue}{(R_T+y_0)}y}} \), que es de variables separables (El signo negativo es por el sentido hacia abajo de la velocidad).
\( \sqrt{\dfrac{y\textcolor{blue}{(R_T+y_0)}}{\textcolor{blue}{R_T+}y_0-y}}dy=-\sqrt{2GM}dt \).
Tras resolver... con cambio de variable y método de integración por partes llego a...

Seguiré corrigiendo D.m.  
....
\( \textcolor{blue}{\sqrt{(R_T+y_0)^3}}\arctan \sqrt{\dfrac{y}{\textcolor{blue}{R_T+}y_0-y}}-\sqrt{y\textcolor{blue}{(R_T+y_0)(R_T+}y_0-y)}=\textcolor{blue}{-t\sqrt{2GM}}+K \).
El valor de \( K \) se deduce usando la condición inicial  \( y(0)=\textcolor{blue}{R_T+}y_0 \)  resultando \( K=\dfrac{\pi}{2}\textcolor{blue}{\sqrt{(R_T+y_0)^3}} \), de donde la expresión implícita de la posición es
\( \textcolor{blue}{\sqrt{(R_T+y_0)^3}}\arctan \sqrt{\dfrac{y}{\textcolor{blue}{R_T+}y_0-y}}-\sqrt{y\textcolor{blue}{(R_T+y_0)(R_T+}y_0-y)}=\dfrac{\pi}{2}\textcolor{blue}{\sqrt{(R_T+y_0)^3}}\textcolor{blue}{-t\sqrt{2GM}} \).
Si se despeja el tiempo resulta
\( \textcolor{blue}{t=\dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\left[\sqrt{(R_T+y_0)^3}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\dfrac{y}{\textcolor{blue}{R_T+}y_0-y}}\right)+\sqrt{y\textcolor{blue}{(R_T+y_0)}(R_T+y_0-y)}\right],\,\,\,\mbox{ con } R_T\leq y\leq R_T+y_0 } \)
Si es \( y=\textcolor{blue}{R_T} \) se tiene que \( \textcolor{blue}{t=\dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\left[\sqrt{(R_T+y_0)^3}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\dfrac{R_T}{y_0}}\right)+\sqrt{R_Ty_0(R_T+y_0)}\right]} \).
Es curioso compararlo con el supuesto hipotético de que la fuerza gravitatoria es constante:
\( F=-g=-\dfrac{GM}{R_T^2} \).
En este caso,
\( -g=y''\Longrightarrow y'=-gt\Longrightarrow y=\textcolor{blue}{R_T+y_0}-\dfrac{1}{2}gt^2 \) de donde \( t=\sqrt{\dfrac{2(\textcolor{blue}{R_T+}y_0-y)}{g}}=2R_T\sqrt{\dfrac{\textcolor{blue}{R_T+}y_0-y}{2GM}} \textcolor{blue}{\,\,\mbox{ con } R_T\leq y\leq R_T+y_0} \).
Si es \( y=\textcolor{blue}{R_T} \) resulta \( t=2R_T\sqrt{\dfrac{y_0}{2GM}} \)
Todo esto despreciando otros factores... 
¿Ves algún error?   
Nota
He supuesto el origen en el centro de la tierra ... y el rango para \( y \) el intervalo \( [R_T, y_0+R_T] \), pues según el enunciado \( y_0 \) es la distancia a la superficie de la tierra.
Añadido
Con tanto cálculo seguro que he metido la pata  
Respecto al apartado b) la velocidad de impacto en la tierra es \( \textcolor{blue}{
y'=-\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{R_T+y_0}\right)}} \) .
Respecto al apartado c) se ve que si   es \( y_0\textcolor{blue}{\to}\infty \) la velocidad tiende a \( y'=\sqrt{\dfrac{2GM}{y}} \)  luego la velocidad con que impacta la superficie terrestre es \( y'=-\sqrt{\dfrac{2GM}{R_T}} \) que coincide con la que se deduce que tendría por el principio de conservación de la energía mecánica.
\( \dfrac{1}{2}(y')^2-\dfrac{GM}{R_T}=0 \)
Saludos

[Richard R Richard]

No lo he revisado todo, pero  me ha mareado un poco que tomes de referencia la superficie, si el cero esta allí  , la variable y debe ser  la que yo tome menos $$R_T$$ y hay que tener cuidado al integrar para calcular $$t(r)$$ pues ahora es $$t(r+R_T)$$, mientras integras puedes calcular  para cada altura respecto a la superficie, el tiempo t , graficar  y  luego con la curva saber cual sera la altura en función del tiempo, digamos cuando tenia conflicto usaba h para la altura respecto de la superficie, y r para la distancia radial al centro de la tierra.
Pd he visto el resultado con la arcotangente, pero no recuerdo en que fuente, yo lo saqué de un apunte y de otro hilo en el que participe en otro foro.

osea  hay que expresar una ecuación en función de la otra sabiendo que 

$$\arctan x = \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$ para $$x>0$$ , no me ha salido de una , quizá haya alguna identidad mas que usar.

[Richard R Richard]

La velocidad con la que impacta depende de la altura de lanzamiento, obviamente aquí no estamos suponiendo que haya rozamiento aerodinamico,ni coriolis para corregir por latitud o sea no suponemos que la tierra gire sobre su eje, así que con remplazar en el radio inicial con el valor la distancia al centro de la tierra tenemos que poder calcular


$$v(r)=-\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0} \right)}$$


en teoría para resolver c) habría que reemplazar en la misma formula $$r=R_t$$ sería el radio de la tierra  como punto de llegada , y el de radio inicio con infinito (aquí herejía) pero mejor decir que el termino $$1/r_0$$ se anula por lo que se llega a

$$v(r)=-\sqrt{\left(\dfrac{2GM}{R_T}\right)}$$   que es la expresión para la velocidad de escape pero con el signo invertido, pues ahora va en sentido contrario al escape. Es la misma que se deduce de las ecuaciones de conservación de la energía mecánica.

[ani_pascual]

Hola:

No lo he revisado todo, pero  me ha mareado un poco que tomes de referencia la superficie, si el cero esta allí  , la variable y debe ser  la que yo tome menos $$R_T$$ y hay que tener cuidado al integrar para calcular $$t(r)$$ pues ahora es $$t(r+R_T)$$, mientras integras puedes calcular  para cada altura respecto a la superficie, el tiempo t , graficar  y  luego con la curva saber cual sera la altura en función del tiempo, digamos cuando tenia conflicto usaba h para la altura respecto de la superficie, y r para la distancia radial al centro de la tierra.
Pd he visto el resultado con la arcotangente, pero no recuerdo en que fuente, yo lo saqué de un apunte y de otro hilo en el que participe en otro foro.


osea  hay que expresar una ecuación en función de la otra sabiendo que 



$$\arctan x = \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$ para $$x>0$$ , no me ha salido de una , quizá haya alguna identidad mas que usar.

Gracias por el vistazo...
Tras analizar ambas expresiones...
veo que son equivalentes, una vez corregida una errata que cometí al olvidar un factor.

Spoiler

La expresión a la que tú llegas es
\( t=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2GM}}\left(\sqrt{\dfrac{r}{r_0}-\left(\dfrac{r}{r_0}\right)^2}+\arccos\sqrt{\dfrac{r}{r_0}}\right) \)
y la que obtengo yo, tras la corrección es,
\( t=\sqrt{\dfrac{(R_T+y_0)^3}{2GM}}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\dfrac{y}{R_T+y_0-y}}\right)+\sqrt{\dfrac{y(R_T+y_0)(R_T+y_0-y)}{2GM}} \), que tras cambiar la notación por la que tú has usado, es decir, \( y=r, R_T+y_0=r_0 \), queda así:
\( t=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2GM}}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}}\right)+\sqrt{\dfrac{rr_0(r_0-r)}{2GM}} \).
Sacando factor común ...
\(
t=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2GM}}\left[\dfrac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}}+\sqrt{\dfrac{r(r_0-r)}{r_0^2}}\right] \).
se ve que el factor inicial es el mismo y que uno de los términos del corchete también, luego solo falta comprobar que
\( \dfrac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}}=\arccos\sqrt{\dfrac{r}{r_0}} \), o equivalentemente
\( \arccos\sqrt{\dfrac{r}{r_0}}+\arctan\sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}}=\dfrac{\pi}{2}\\\stackrel{(\ast)}{\Longleftrightarrow} \arccos\sqrt{\dfrac{r}{r_0}}+\arccos\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{r}{r_0-r}}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow \\\arccos\sqrt{\dfrac{r}{r_0}}+\arccos\sqrt{1-\dfrac{r}{r_0}}=\dfrac{\pi}{2}  \).
Pero esta igualdad es cierta ya que
\( \arccos\sqrt{x}+\arccos\sqrt{1-x}=\dfrac{\pi}{2} \) para \( 1\geq x\geq 0 \).
 
\( (\ast):\,\,\arctan x=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)

[cerrar]

Saludos