Hay muchas formas de resolverlo. Esta es la más "geométrica" que se me ocurrió.
La recta azúl es la que divide al triángulo \( AHC \) en dos figuras de igual area, si y sólo si divide al triángulo \( ABC \) en dos figuras de igual area. \( BC=1 \), y por el teorema de Pitágoras, \( AB=\sqrt{3} \), o sea que el area del rectángulo \( ABCD \) es \( \sqrt{3} \) y el area del triángulo \( ABC \) es \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Por lo tanto el area del triángulo \( AEF \) es \( \frac{\sqrt{3}}{4} \). Y esto significa que el area del rectángulo \( AEFG \) es \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Ahora bien, el que el vértice \( F \) del rectángulo \( AEFG \) caiga sobre la diagonal del rectángulo grande \( ABCD \) (dada la forma en la que están dispuestos) significa que la relación entre las bases de ambos rectángulos coincide con la relación entre sus alturas. Esto es:
\( \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=:\alpha \)
Pero como conocemos el area del rectángulo \( AEFG \), podemos afirmar que
\( \frac{\sqrt{3}}{2}=AE\times EF=\alpha AB\times \alpha BC=\sqrt{3}\alpha^2\quad\Rightarrow\quad\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
O sea que \( EF=\frac{1}{\sqrt{2}}BC=\frac{1}{\sqrt{2}} \), y por lo tanto \( IF=2\times\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \).
No sé si la cantidad buscada era esta, o posiblemente \( \dfrac{\sqrt{2}+2}{2} \).
