[vastago_de_oscuridad]

Hola a todos!
Tengo unos problemillas que no se resolver, a ver si me podeis ayudar:

1.- Tenemos tres rectas cualesquiera (a, b, c) paralelas entre sí y queremos construir un triangulo equilátero (A, B, C) el cual tenga un vertice apoyado sobre cada una de las rectas.
    Una solución que he encontrado por internet ha sido: Tomar un punto cualquiera (B) sobre la recta b, girar la recta c 60º con centro B, obteniendo una nueva recta (c'). El punto de corte entre las rectas a y c' es otro vértice (A), trazamos un segmento AB y lo giramos 60º con centro B, obteniendo así el triángulo buscado.
    Pero, ¿me podrían explicar por qué es esa la solución?

2.- Tenemos un triángulo cualquiera y queremos construir un triángulo equilátero inscrito en el anterior y con uno de sus lados paralelos a una recta exterior dada al azar.
    A este segundo problema no le he encontrado solucion alguna, pero seguro que ustedes me pueden abrir los ojos.

Muchas gracias por su ayuda.

[León]

¡Hola!

1- La solución tiene una pequeña omisión. Para construir C debes aplicarle a A la rotación de ángulo -60 grados y centro en B. Veamos porqué funciona:

La receta consiste en tomar un B cualquiera y fabricarse A y C. Estamos de acuerdo en que alcanza con comprobar BA=BC y que el ángulo es de 60 grados (un tercio de media vuelta) para asegurarse de que el triángulo construido es equilátero. El punto A, según la receta está en la intersección de la recta a y la recta c' (que es la recta c rotada 60 grados, con centro en B). Bien, ahora hacemos la rotación inversa a la anterior (de ángulo -60 grados) y se la aplicamos a A. Como A estaba en c', este nuevo punto C debe estar en c. Además BA=BC porque las rotaciones conservan las distancias y esta manda B->B y A->C. Además, el ángulo en CBA es de 60 grados, (ese es el ángulo de la rotación inicial). Uff...

2- Para esto puedes hacer casi la misma construcción (en ningún lado usamos, si te fijas, que las rectas eran paralelas antes), salvo que inicialmente hay que elegir el punto B con mas cuidado (esa es la parte difícil). Si no sale vuelve a preguntar.

[vastago_de_oscuridad]

    Saludos de nuevo!
    He encontrado la manera de trazar el triangulo equilátero dentro de uno cualquiera, pero no cumple la condición de tener un lado paralelo a la recta exterior.
    También por semejanza de triángulos he conseguido lo que proponia el enunciado, pero solamente se cumple en algunos casos.

    Me podrían dar la solución de manera general? Muchas gracias.

[León]

Discúlpame, estuve pensándolo con la idea que te di en el otro mensaje y me di cuenta de que no es tan fácil (no sé qué me pareció ver el otro día).

Esta es otra construcción que puede servirte.

Tenemos, para empezar, un triángulo ABC y una recta R.

Cómo dibujar un triángulo equilátero no inscripto, pero casi...

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Traza una paralela a R que pase por adentro del triángulo. Para simplificar un poco la construcción suponte que corta al segmento AB en D y al segmento AC en E (puede que tengas que cambiar los nombres de los puntos para que esto sea así).

Ahora con el segmento DE traza un triángulo equilátero (llamemos al tercer punto F, este es el triángulo DEF). Atención, de los dos posibles triángulos equiláteros que puedes armarte debes elegir aquél en que F que cumple que el segmento FA corta a la recta DE (es decir, F y A deben estar en 'orillas opuestas' de la recta DE).

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Se puede inscribir ese triángulo equilátero en uno semejante a ABC.

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Traza la paralela a BC que pasa por F. Esta recta corta a las recta AB y AC en dos puntos, que podemos llamar B' y C'.

En este punto, fíjate que AB'C' es un triángulo semejante a ABC y que ya tiene adentro un triángulo equilátero, todo lo que falta hacer es un achicamiento o estiramiento (lo que se llama propiamente una homotecia con centro en A) de este triángulo para apoyarlo sobre el original. [En realidad no hace falta construir B' y C', pero a mi me gusta hacerlo para entender mejor la construcción.]

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Falta trasladar todo a la escala original.

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Bien, tenemos que transladar los puntos EDF. Pongamos el punto F' dónde va, en la intersección del segmento FA con BC. Después tracemos una paralela a la recta DF que pase por F'. Dónde esta recta corta a AB debe estar D'. Por último, dónde la paralela a EF que pasa por F' está el punto E'.

Listo E'D'F' son el triángulo equilátero dentro de ABC.

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[Una pregunta que puede contestarse inspirándose en esta construcción. ¿Cuántos triángulos equiláteros inscriptos en un triángulo cualquiera dado con un lado paralelo a una recta dada pueden construirse? (La respuesta depende un poco de cómo sea la recta con respecto a los lados del triángulo).]

[rubenrosas]

 Había hecho un escrito hace un mes atrás aprox. sobre la idea de dividir un triángulo desde un punto interior en tres triángulos de áreas iguales, pero lo hice en teoría de los números y allí nunca apareció,que yo sepa.Ésto del foro para mí es casi deszconocido.La intención era por lo siguiente :encontrar un método para dividir una superficie esférica en secciones sucesivas de igual área para poder determinar el volumen de la esfera a partir del volumen de la pirámide.Lo he visto en libros pero sin ninguna regla aparente.