Hola
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Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Buenos días,
mi problema es el siguiente. Hay una colección de cromos compuesta por 50 cromos diferentes. Hay tres frecuencias de los cromos: f1, f2=1/2f1, f3=1/10f1. De todos los cromos, 35 son f1, 10 son f2 y 5 son f3.
Los cromos se compran en sobres cerrados, que contienen o bien 3 cromos aleatorios y no repetidos, o bien 10 cromos aleatorios y no repetidos.
Existe un mercado secundario donde los coleccionistas pueden intercambiar sus cromos repetidos.
¿Cuál es la cantidad esperada de sobres que hay que comprar para completar la colección?
Muchas gracias por su ayuda.
¡Buf! Vaya por delante que me parece díficil dar una respuesta exacta a esta pregunta. En todo caso se podría intentar una aproximación y aun así, no lo veo sencillo.
Lo del mercado secundario por ahora lo quito del modelo. Habría que concretar cuantos coleccionistas hay, cuantos sobres compran ellos, como son las condiciones del cambio. Como caso extremos su tuviésemo "infinitos" coleccionistas nos solucionarían en problema, con que tuviésemos 50 cromos comprados siempre habría alguno que tuviese el que nos falta y le faltase uno que tenemos.
En fin que como te digo estoy de momento lejos de poder darte una respuesta.
Comenzaré únicamente con un muy modesto subproblema. La probabilidad de obtener en un sobre un cromo concreto de alguno de los tipos y el número esperado de sobres para conseguirlo.
Supongo que los sobres de 3 y 10 cromos son equiprobables.
Entonces sea \( p_i \) la probabilidad de que un cromo al azar sea de tipo \( i \); sea \( n_i \) el número de cromos de tipo \( i \).
La probabilidad de que aparezca un cromo concreto de tipo \( i \) en un sobre de \( m\leq n_i \) cromos es:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^m{}\displaystyle\binom{m}{k}p_i^k(1-p_i)^{m-k}\dfrac{k}{n_i} \)
Entonces la probabilidad de que aparezca un cromo concreto de tipo \( i \) en un sobre arbitrario (teniendo en cuenta que puede ser de tres o diez cromos de manera equiprobable es):
\( q_i=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^3{}\displaystyle\binom{3}{k}p_i^k(1-p_i)^{3-k}\dfrac{k}{n_i}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{}\displaystyle\binom{10}{k}p_i^k(1-p_i)^{10-k}\dfrac{k}{n_i} \)
Ahora el número de sobre esperado para obtener ese cromo (teniendo en cuenta que la distribución de una variable que cuenta los intentos hasta el primer éxito es una
geométrica) es \( 1/q_i \).
Por ejemplo con tus datos: \( p_2=p_1/2 \) y \( p_3=p_1/10 \).
Dado que la suma de las tres probabilidades es 1 se obtiene \( p_1=\dfrac{5}{8},\quad p_2=\dfrac{5}{16},\quad p_e=\dfrac{1}{16} \).
Si además \( n_1=36,\quad n_2=10,\quad n_3=5. \)
Las probabilidades de que en un sobre se obtenga un cromo concreto de tipo \( i=1,2 \) son respectivamente:
\( q_1=\dfrac{13}{112}=0.116 \)
\( q_2=\dfrac{13}{64}=0.203 \)
Y el respectivo valor esperado del número de sobres para obtener un cromo concreto de cada tipo es:
\( E_1=\dfrac{112}{13}=8.615 \)
\( E_2=\dfrac{64}{13}=4.923 \)
No he hecho el caso de tres cromos de tipo 3 porque ahí se complica más la cuestión; si los sobres de diez cromos tienen que tener los cromos distintos, entonce es imposible que un sobre tenga más de 5 cromos de tipo 3 (¡porque no hay más!). Esto deja una laguna en las hipótesis que estamos barajando. ¿Con qué criterio se supone que se rellena un sobre de 10 cromos?. ¿Cómo se elige el tipo de cada cromo?. El criterio de la frecuencia no llega porque no pueden salir más de 5 de tipo 3.
Saludos.
