Hola
Veamos si el (b) es así. Supongamos que tienes un homeomorfismo:
\( f:S^1\times S^1 \)
y consideramos la cubierta universal de \( S^1 \), \( c:R\longrightarrow{}S^1,\quad c(t)=(cos(t),sin(t)) \). Supongamos que tenemos dos levantamientos \( F,G:R\longrightarrow{}R \) de \( f \), es decir, tenemos diagramas conmutativos:
\( \begin{array}{ccc}
{\xymatrix{
R \ar[r]^F \ar[d]^c \ar[rd] & R \ar[d]^c \\
S^1 \ar[r]^f & S^1
}}&{\qquad\qquad\qquad}&
{\xymatrix{
R \ar[r]^G \ar[d]^c \ar[rd] & R \ar[d]^c \\
S^1 \ar[r]^f & S^1
}}\\
\end{array}
\)
Se cumple entonces que: \( c\circ F=f\circ c=c\circ G \), de donde:
\( (Cos(F(t)),Sin(F(t))=(Cos(G(t)),Sin(G(t)) \) para todo \( t\in R \)
Por tanto:
\( F(t)-G(t)=2k(t)\pi \)
donde \( k:R\longrightarrow{}Z \) es una fución que toma valores sobre los enteros. Como:
\( k(t)=\dfrac{F(t)-G(t)}{2\pi} \)
Es continua por ser diferencia de funciones continuas; pero la únicas funciones continuas de un espacio conexo (\( R \) en nuestro caso) sobre un espacio discreto (\( Z \) en nuestro caso) son las constantes.
Saludos.
