[fede0463]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Si f es tres veces derivable y \( f'(x)\neq{0} \), la derivada de Schwarz de f en x se define como:

\( \displaystyle\dst Df(x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2 \)

A) Probar que \( \dst D(f o g)(x)=(Df(g(x))g'^2(x) + Dg(x) \)

Comencé planteando que \( \dst D(fog)(x)=\frac{(fog)'''(x)}{(fog)'(x)}-\frac{3}{2}(\frac{(fog)''(x)}{(fog)'(x)})^2 \)

No entiendo como plantear (fog)'''(x)

Saludos

[Fernando Revilla]

No entiendo como plantear (fog)'''(x)

Usando la regla de la cadena y la fórmula de la derivada del producto:

\( (f\circ{g})'(x)=f'(g(x))\cdot{g'(x)}\\{}\quad \;\;(f\circ{g})''(x)=f''(g(x))\cdot{(g'(x))^2}+f'(g(x))\cdot{g''(x)}\\{}\quad\;\;(f\circ{g})'''(x)=... \)

[fede0463]

Me quedó: \( (fog)'''(x)=f'''(g(x))g'''(x)g'^2(x)+f''(g(x))g''(x)2g'(x)+f''(g(x)g''(x))g''(x)+f'(g(x))g'(x)g'''(x) \)

Quisiera verificar si logré derivar bien.

Saludos.

[Fernando Revilla]

El segundo y cuarto sumandos son correctos, el primero debe ser \( f'''(g(x))\cdot (g'(x))^3 \) y el tercero \( f''(g(x))\cdot g'(x)\cdot g''(x) \). 

[fede0463]

Observando el resultando final: cuando tengo que aplicar la derivada del producto y en un factor es necesario utilizar la regla de la cadena quedaba:

\( f'''(g(x))\cdot (g'(x))^3 \)

Pero cuando había que derivar el otro factor:

\( f''(g(x))g''(x)2g'(x) \)

No entiendo porqué en el segundo caso aparece la regla de la cadena aplicada de distinta forma que en el 1er caso (es decir, aparece \( f''(g(x))g''(x)2g'(x) \) en vez de \( f''(g(x))g'(x)2g'(x) \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

No entiendo porqué en el segundo caso aparece la regla de la cadena aplicada de distinta forma que en el 1er caso (es decir, aparece \( f''(g(x))g''(x)2g'(x) \) en vez de \( f''(g(x))g'(x)2g'(x) \)

Bien, he revisado y es correcto. Si puedes concretar cual crees que es el error.

[fede0463]

En todo caso, un posible error que pude haber cometido es no tomar a \( (g'(x))^2^ \) como otro producto... pero lo hago y me queda \( f''(g(x))g'(x)[g''(x)(2g'(x)+1] \)

[Fernando Revilla]

Derivada de \( f''(g(x))\cdot{(g'(x))^2} \): lamamos \( u=f''(g(x)),\;v={(g'(x))^2 \). Tenemos:

\( u'=f'''(g(x))\cdot g'(x),\;\quad v'=2g'(x)\cdot g''(x) \)

Ahora aplica \( (uv)'=u'v+uv' \) y concluye.