[eduardoalfonso]

\( \displaystyle\int \tan^2(x) \)

El caso es que esta integral la he resuelto usando las identidades:

\( \tan(x)=\displaystyle\frac{\sen(x)}{\cos(x)} \) y \( \tan^2(x)=\sec^2(x)-1 \)

Y dado que la integral de secante al cuadrado es tangente, la integral es

\( \displaystyle\int \tan^2(x)=\tan(x)-x+c \)

Sin embargo, quisiera saber si existe algún método para hallar la integral usando únicamente senos y cosenos, es decir, cambiar la expresión para que pueda ser solucionada mediante las integrales del seno y el coseno.

¿Cómo se demuestra calcula la integral de \( \sec^2(x) \)?

[Ulysses]

No parecería difícil demostrar que

\( f(x)=\tan(x)\rightarrow{f(x)=\displaystyle\frac{sen}{cos}} \)

\( f'(x)=\displaystyle\frac{cos^2+sen^2}{cos^2}=sec^2 \)

Saludos.

[aladan]

Sin embargo, quisiera saber si existe algún método para hallar la integral usando únicamente senos y cosenos, es decir, cambiar la expresión para que pueda ser solucionada mediante las integrales del seno y el coseno

Si lo que quieres es resolver

                    \( \displaystyle\int \displaystyle\frac{\sen^2 x}{\cos^2 x }dx \)

sin recurrir a su equivalencia con \( \sec^2 x-1  \) puedes aplicar partes haciendo

\( \sen x=u\Rightarrow{\cos xdx=du} \)

\( \displaystyle\frac{\sen xdx}{\cos^2 x}=dv\Rightarrow{v=\displaystyle\frac{1}{\cos x}} \)

entonces

 \( \displaystyle\int \displaystyle\frac{\sen^2 x}{\cos^2 x }dx=\displaystyle\frac{\sen x}{\cos x}-\displaystyle\int dx=\tan x-x+Cte \)

Saludos

[eduardoalfonso]

Exacto aladan!

Gracias!

Saludos.