[nktclau]

1) Debo hallar la serie de Taylor para \( f(x)= \cos(x)  \) centrado en \( c=\displaystyle\frac{\pi}{4} \)
\( P_n(x)= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}- \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)}{2}- \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)^2}{4} + \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)^3}{12} +\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)^4}{48}- \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)^5}{240}+.......+ f^n (\pi/4)\displaystyle\frac{(x-\pi/4)^n}{n!}  \)

\( \cos (x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{f^n (\pi/4)\displaystyle\frac{(x-\pi/4)^n}{n!}} \)

2) Probar que la serie hallada representa la función \( \bold{\forall{\in{\mathbb{R}}}} \)
Entonces debo probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{R_{n+1}(x)}=0 \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left|f^{n+1}(z). \displaystyle\frac{(x- (\pi/4)^{n+1}}{(n+1)!} \right|} \) para algún z entre x y \( \displaystyle\frac{\pi}{4} \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left|\displaystyle\frac{f^{n+1}(z) (x-(\pi/4))^{n+1}} {(n+1)! } \right|} \)

Como \( |f^{n+1}(z)| } \) está acotada superiormente por 1 entonces puedo evaluar \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{(x-(\pi/4))^{n+1}}{(n+1)!}} \)

que resuelvo por el criterio del cociente tomando \( a_n= \displaystyle\frac{(x-\pi/4)^n}{n!}  \) y \( a_{n+1}= \displaystyle\frac{(x-(\pi/4))^{n+1}}{(n+1)!}} \) y calculando \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}} \)


Esta bien chicos lo que hice hasta acá??? 

[Héctor Manuel]

Fíjate que \( f^n\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \) puede ser calculada explícitamente en términos únicamente de \( n \).  Por lo demás, a vista rápida, está correcto.

Saludos

[nktclau]

Hola Hector Manuel!!
si estoy de acuerdo que \(  f^n (\pi/4) \) iba a poner \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \) pero no se encontrar el patrón de comportamiento de los signos + y -.
\( f^{\prime}(x) = -\sen(x) \Longrightarrow{f^{\prime}(\pi/4) = -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}} \)

\( f^{\prime\prime}(x) -\cos(x) \Longrightarrow{^{\prime\prime}(\pi/4)= -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}} \)

\( f^{(3)}(x)= \sen (x) \Longrightarrow{f^{(3)}(\pi/4)= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}} \)

Asi para aquellas e-nésimas derivadas: 1, 2, 5, 6,9, 10..... tengo signos -
y para 3,4,7,8... signo + 

[Héctor Manuel]

mmm, va a quedar más feo de lo que pensé.   El signo viene dado por \( a_n=\displaystyle\frac{-1}{2}+\displaystyle\frac{3}{2}(-1)^n+n(-1)^{n+1} \).  Es decir, \( f^(n)(\pi/4)=\left(\displaystyle\frac{-1}{2}+\displaystyle\frac{3}{2}(-1)^n+n(-1)^{n+1}\right )\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \)

También pudiera ser con la recurrencia \( a_n=a_{n+4} \) con \( a_0=1,a_1=-1=a_2,a_3=1 \).

Saludos

[nktclau]

2) Probar que la serie hallada representa la función \( \bold{\forall{\in{\mathbb{R}}}} \)
Entonces debo probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{R_{n+1}(x)}=0 \)

que resuelvo por el criterio del cociente tomando \( a_n= \displaystyle\frac{(x-\pi/4)^n}{n!}  \) y \( a_{n+1}= \displaystyle\frac{[x-(\pi/4)]^{n+1}}{(n+1)!}} \) y calculando \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}} \)

Quice calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}} \) y no se me va x me queda una expresión que no puedo analizar ¿que puede estar mal?? 
 
\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{[x-(\pi/4)]^{n+1}}{(n+1)!}}: \displaystyle\frac{(x-\pi/4)^n}{n!} \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left|R_n(x) \right|}\leq{\displaystyle\frac{(x- \pi/4)}{n+1}} \) no se si realmente es 0