[Quema]

Hola

Esto viene del post

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,23432.msg93807.html#msg93807

Si tengo la función

\( v(x)=-e^{\displaystyle\frac{-x}{r}} \)   

con \( x\geq{}0 \), \( r>0 \).

Y sea \( Ev(X)=v(c) \) con \( c\in{}R \)

Entonces, dada una v.a. \( X  \) y  \( k>0 \),

¿ se cumple que:

\( P(X\leq{}c-k)\leq{}\displaystyle\frac{v(c)}{v(c-k)} \)

\( P(X\geq{}c+k)\leq{}\displaystyle\frac{v(c)+1}{v(c+k)+1} \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos, si llamamos \( f(x) \) a la función de densidad y suponemos \( X \) soportada en \( [0,a] \), tenemos, por una parte:

 Como \( v(x) \) es creciente:
 
\(  \displaystyle\int_{0}^{c-k}v(x)f(x)dx\leq v(c-k)\displaystyle\int_{0}^{c-k}f(x)dx=v(c-k) P(X\leq c-k) \)

 Por otra parte, como \( v(x) \) es siempre negativa:

\( \displaystyle\int_{0}^{c-k}v(x)f(x)dx\geq \displaystyle\int_{0}^{a}v(x)f(x)dx=Ev(x)=v(c) \)

 Combinando ambas cosas:

\(  v(c-k)P(X\leq c-k)\geq v(c) \)

 e teniendo en cuenta que \( v \) es negativa al "pasarla" la otro lado invertimos desigualdades:

\(  P(X\leq c-k)\leq \dfrac{v(c)}{v(c-k)} \)

 De \( v(x) \) no hemos usado su definición particular: tan sólo las características marcadas en rojo.

 Revísalo.

Saludos.

[Quema]

Hola

Si, ya se había demostrado notando que al ser \( v \) creciente y \( k>0 \) entonces \( \dfrac{v(c)}{v(c-k)}>1 \) y la probabilidad no puede superar a uno.

El tema es cómo probar la segunda desigualdad \( P(X\geq{}c+k)\leq{}\displaystyle\frac{v(c)+1}{v(c+k)+1} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Por un momento me quedó una solemne cara de tonto   por haber rizado el rizo.

 Pero, cuidado, \( v \) es creciente pero negativa. Entonces:

\(  v(c)\geq v(c-k)\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{v(c)}{v(c-k)}\color{red}\leq \color{black} 1 \)

 Ahora vamos a ver si sale o no lo otro...

Saludos.

[Quema]

Hola

Creo que la segunda desigualdad sale teniendo en cuenta que \( u(x)\geq{}-1 \) para todo \( x \) y (por ser \( u \) creciente), \( u(x)\geq{}u(c+k) \)para todo \( x\geq{}c+k \). Por lo tanto \( u(x)\geq{}u(c+k)1_{X\geq{}c+k}+(-1)1{_{X\leq{}c+k} \).

y luego tomando esperanza llegamos al resultado deseado, está bien?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si. Es correcto. Tomando esperanza queda:

\(  v(c)\geq v(c+k)P(X\geq c+k)-P(X\leq c+k)= \)

\( =v(c+k)P(X\geq c+k)-1+P(X\geq c+k) \)

 de donde:

\(  P(X\geq c+k)\leq \dfrac{v(c)+1}{v(c+k)+1)} \)

 Adicionalmente a las hipótesis puestas en rojo, necesitamos como bien dices que \( \color{red}v(x)\geq -1\color{black}. \)

 Con la misma notación el apartado anterior sale directamente de que:

\(  v(x)\leq v(c-x)1_{X\leq c-k} \)

 y aplicando esperanzas.

Saludos.

[Quema]

Hola

Creo que para entender bien la desigualdad \( u(x)\geq{}u(c+k)1_{X\geq{}c+k}+(-1)1{_{X\geq{}c+k} \) faltaría un paso y es que:

\( u(x)\geq{}-1 \) entonces \( u(x)1_{X\leq{}c+k}\geq{}(-1)1_{X\leq{}c+k} \) y además como \( u(x)\geq{}u(c+k) \) para \( x\geq{}c+k \)entonces \( u(x)1{_{X\geq{}c+k}\geq{}(-1)1{_{X\geq{}c+k} \), luego sumando las dos desigualdades tenemos la primera desigualdad, pues \( 1{_{X\leq{}c+k}+1{_{X\geq{}c+k}=1 \), no?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Bueno, lo de detallarlo es al gusto. A mi ya me parecía suficientemente claro como lo pusiste la primera vez. 

 Lo que se está diciendo con esa desigualdad involucrando las funciones indicatrices simplement es que:

 \( v(x)\geq v(c+k) \) para \( x\geq c+k \)

 \( v(x)\geq -1 \) para \( x\leq c+k \)

Saludos.