[FedeFrontera]

Buenos días, me darían una mano con este problema:

\( f:\mathbb{R} \rightarrow{}\mathbb{R}/f(x)=x+ \displaystyle\frac{1}{1+e^x} \)

a) Demostrar que \(  \left |{f(x)-f(y)}\right |<\left |{x-y}\right | \) para todo \(  x,y\;\mathbb{\in{R}} \) y sin embargo no posee ningún punto fijo.

b) ¿En qué falla en aplicar el teorema del punto fijo?

Desde ya muchas gracias.

[zorropardo]

Hola,

Lo haria asi: Supongamos que tenga un punto fijo, entonces tendriamos , $$f(x)=x \longrightarrow{   x+\frac{1}{1+e^{x}}}=x  \longrightarrow{ \frac{1}{1+e^{x}}}=0 \longrightarrow{  1=0} , $$ lo que es un absurdo.

[ani_pascual]

Hola:

...

b) ¿En qué falla en aplicar el teorema del punto fijo?

Como la aplicación es Lipschitz pero no es contractiva ya que la constante no es menor que \( 1 \) creo que no se puede aplicar el teorema del punto fijo
Saludos

[Fernando Revilla]

\( f:\mathbb{R} \rightarrow{}\mathbb{R}/f(x)=x+ \displaystyle\frac{1}{1+e^x} \) a) Demostrar que \(  \left |{f(x)-f(y)}\right |<\left |{x-y}\right | \) para todo \(  x,y\;\mathbb{\in{R}} \) y sin embargo no posee ningún punto fijo.

Sugerencia: Sea \( y<x \) y \( f(t)=t+ \displaystyle\frac{1}{1+e^t} \). Aplica el teorema de Lagrange en \( [y,x] \).

Como la aplicación es Lipschitz pero no es contractiva ya que la constante no es menor que \( 1 \) creo que no se puede aplicar el teorema del punto fijo

Exacto, esa es la razón.

[Fernando Revilla]

   El desarrollo completo de la solución:

        https://fernandorevilla.es/2024/05/19/aparente-desviacion-del-teorema-del-punto-fijo/.

[ani_pascual]

Hola:

   El desarrollo completo de la solución:

        https://fernandorevilla.es/2024/05/19/aparente-desviacion-del-teorema-del-punto-fijo/.

Viendo el desarrollo ¿no sería ya absurdo que \( \dfrac{1}{1+e^p}=0 \)? ¿Tiene sentido la equivalencia \( \dfrac{1}{1+e^p} =0\Longleftrightarrow 1=1+e^p \)?
Saludos

[Fernando Revilla]

Viendo el desarrollo ¿no sería ya absurdo que \( \dfrac{1}{1+e^p}=0 \)? ¿Tiene sentido la equivalencia \( \dfrac{1}{1+e^p} =0\Longleftrightarrow 1=1+e^p \)?

Un despiste, ya está arreglado. Gracias.

[FedeFrontera]

¡Muchísimas gracias! Realmente interesante, no se me habría ocurrido utilizar el Teorema de Lagrange.

Buena jornada.

Abrazo.