[pierrot]

[ingmarov]

Hola

Spoiler

Por ahora no tengo como hacer un dibujo, así que aquí va mi solución a puro texto.

Llamemos O al punto de intersección de la diagonal y las paralelas añadodas.
E y F los puntos de intersección de la paralela añadida horizontal y los lados AD y BC respectivamente

Y G, H los puntos de cruce de la otra paralela añadida y los lados AB y DC respectivamente.

Tenemos varios triángulos equivantes (son congruentes):
ABC con ACD,  AOE con AOG,  HOC con COF

Podemos decir que (utilizo el nombre de las regiones para designar sus áreas),

BFOG=ABC-AGO-CFO
Por las equivalencias mencionadas podemos decir que

BFOG=ACD-AOE-COH=DEOH

Pd. He escrito desde mi teléfono.

[cerrar]

Saludos

[pierrot]

Gracias, ingmarov.

Este problema me lo planteó una amiga, y como no se atrevía a publicarlo en el foro, lo publiqué yo por ella. Además sé que hay gente en este foro al que le gustan mucho los problemas de geometría sintética.

Saludos.

Añado: En lo personal, no soy muy adepto a este tipo de problemas, pues no tengo muy claro cuáles son las "reglas del juego".

[Samir M.]

La idea es darse cuenta de que podemos ver la figura como varios paralelogramos distintos, unos circunscritos de otros, por ejemplo, el que ya de por sí define el problema y el paralelogramo \( AXOY \). Entonces, como \( ABC \) y \( ACD \) son dos triángulos con la misma área, lo mismo podemos afirmar para \( AEOH \): \( AXO  \) es igual a \( AOY \). Pero esto también se cumple para los triángulos (circunscritos en el paralelogramo \( OECF \)) \( OEC \) y \( OFC \), luego la suma de \( OEC \) y \( AXO \) ha de ser la misma que la suma de \( OFC \) y \( AYO \), de lo que se desprende trivialmente el resultado a demostrar (pues de otra forma obtenemos un absurdo: Como el área de \( ABC \) y de \( ACD \) son iguales, tendríamos que el área del paralelogramo problema es menor que la que forman sus componentes que acabamos de describir)



Pd: Creo que no es estrictamente menor, puede ser mayor también, pero aun así obtenemos el absurdo.

[ingmarov]

Gracias, ingmarov.

Este problema me lo planteó una amiga, y como no se atrevía a publicarlo en el foro, lo publiqué yo por ella. Además sé que hay gente en este foro al que le gustan mucho los problemas de geometría sintética.

Saludos.

Añado: En lo personal, no soy muy adepto a este tipo de problemas, pues no tengo muy claro cuáles son las "reglas del juego".

Sería muy agradable que muchos se atrevieran a publicar sus problemas (de matemáticas), pero por algunas razones "no se atreven", deberíamos investigar qué razones ahuyentan a los nuevos usuarios.

En lo personal me gusta la Geometría Sintética porque proporciona herramientas que pueden ser útiles al realizar actividades reales sin necesidad de utilizar una calculadora o una cinta métrica, eso ahorra tiempo y el conocimiento se puede compartir con personas a quienes no les gustan los cálculos numéricos. Por ejemplo hace poco le enseñé a un albañil a trazar un arco sobre una ventana conociendo su "altura" y su "base" sin requerir cálculos complicados.

Saludos