Hola
Sea $$K$$ un cuerpo y $$f(x)$$ en $$K[ x ]$$ un polinomio no constante. Sea $$f'(x)$$ su derivada formal. Entonces:
$$
\boxed{
f \text{ es separable}
\;\Longleftrightarrow\;
f \text{ y } f'(x) \text{ no comparten raíces en } \overline{K}
}
$$
Es correcto el teorema ?
Si. Está bien. Ten en cuenta que si no es separable tiene al menos una raíz doble \( a \):
\( f(x)=(x-a)^2h(x) \)
y de ahí \( f'(x)=2(x-a)h(x)+(x-a)h'(x) \) se anula en \( a \).
Recíprocamente si \( f(x) \) tiene una raíz en \( a \), \( f(x)=(x-a)h(x) \) y \( f'(x)=h(x)+(x-a)h'(x) \), de donde, \( f'(a)=h(a) \). Si \( a \) es también raíz de \( f'(x) \) lo es de \( h(a) \) y por tanto \( a \) sería raíz doble de \( f(x) \).
Saludos.
