Demuestra que en un trapezoide los puntos medios de los lados paralelos, la intersección de las diagonales y la intersección de los lados no paralelos son colineales. 
Buenas. Para ver la colinealidad de los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las diagonales podemos argumentar del modo siguiente:
Sea \( P \) el punto de intersección de la recta \( MN \) y la diagonal \( AC \), y \( P' \) el punto de intersección de la recta \( MN \) y la diagonal \( BD \). Veremos que \( P \) y \( P' \) coinciden. Los triángulos \( AMP \) y \( PNC \) son semejantes, por lo que
\( \displaystyle\frac{MP}{PN}=\displaystyle\frac{AM}{NC}=\displaystyle\frac{AB}{CD} \)
Análogamente,
\( \displaystyle\frac{MP'}{P'N}=\displaystyle\frac{AB}{CD} \)
Entonces \( P \) y \( P' \) están sobre el segmento \( MN \) y cumplen la misma condición: son el mismo punto.
Para ver que el punto \( Q \) también está sobre la recta \( MN \) podemos pensar lo siguiente:
Los triángulos \( QAB \) y \( QDC \) son semejantes, por lo que: \( \displaystyle\frac{QA}{QD}=\displaystyle\frac{QB}{QC}=\displaystyle\frac{AB}{DC} \).
Comparemos los triángulos \( QAM \) y \( QDN \):
\( \displaystyle\frac{QA}{QD}=\displaystyle\frac{AB}{DC}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}AB}{\displaystyle\frac{1}{2}DC}=\displaystyle\frac{AM}{DN} \)
Como además los ángulos \( \widehat{QAM} \) y\( \widehat{QDN} \) son iguales, los triángulos \( QAM \) y \( QDN \) son semejantes, en consecuencia los ángulos \( \widehat{AQM}=\widehat{DQM} \) y\( \widehat{DQN} \) son iguales, y por tanto Q, M y N son colineales.
Buf, parecía más corto en una hoja.
