[Luiscnoguera]

Hola a todos. Quería compartir con ustedes una línea de investigación y desarrollo algebraico que he estado trabajando sobre la factorización y la estructura de los números compuestos, con el fin de someterlo a su revisión y crítica (de preferencia constructiva).

Partiendo de una representación geométrica basada en números triangulares, he llegado a la siguiente identidad fundamental que relaciona un número compuesto N = P * Q (con {P, Q} impares) mediante una sumatoria pura de potencias S_k en base B:

N + T_(S_k) = T_(S_k + 2P)

Donde S_k es la sumatoria pura de potencias:
$$S_k = \sum_{m=0}^{k-1} B^m = 1 + B + B^2 + \dots + B^{k-1}$$

2. Relación Directa con la Distancia entre Factores:

Al analizar algebraicamente esta identidad, se observa que el término en base B actúa como un operador que absorbe y parametriza exactamente la mitad del margen entre la distancia de los factores primos D = Q - P y el primo menor P:

$$S_k = \frac{D - P - 1}{2}$$

Desarrollando la ecuación general para cualquier base B, obtenemos la forma parametrizada:
$$N = (2x + 1) \cdot \left( \frac{2B^k + B - 3}{B - 1} + 4x + 2 \right)$$

3. Acotación del Exponente y Criterio de Debilidad:

Un resultado analítico interesante de este marco es que el exponente máximo k para una base B dada no es arbitrario, sino que está rígidamente acotado para un número de n bits por:
$$k_{\text{máx}} = \left\lfloor \frac{n}{\log_2(B)} \right\rfloor$$

Lo que propongo es la siguiente:
Si la distancia entre los factores primos D = Q - P de un número compuesto N coincide o puede expresarse exactamente mediante una sumatoria pura de potencias S_k para una base B pequeña, el número compuesto es estructuralmente "débil".

El espacio de búsqueda se reduce drásticamente a un conjunto finito de intentos acotados por k_máx, permitiendo factorizar el número en una fracción del tiempo habitual en comparación con un número compuesto por primos aleatorios genéricos.

Ejemplo numérico:
705= 141*5 entonces (141-2*5-1)/2= 65, entonces 705+(65*66/2)=75*76/2

Agradecería su opinión al respecto!
Muchas gracias por su tiempo.

[Luis Fuentes]

Hola

 No veo propuesto ahí ningún algoritmo concreto para factorizar un número. No veo que aporta expresar \( S \) como "todo unos" en una determinada base. Aún encima no puede saberse si es posible esa expresión (para \( B \) pequeño) sin conocer previamente la factoriazación. Hay alguna errata además. Por ejemplo:

Desarrollando la ecuación general para cualquier base B, obtenemos la forma parametrizada:
$$N = (2x + 1) \cdot \left( \frac{2B^k + B - 3}{B - 1} + 4x + 1 \right)$$

 Debería de ser:

$$N = (2x + 1) \cdot \left( \frac{2B^k + B - 3}{B - 1} + 4x + 2 \right)$$

 Por otro lado la expresión de \( N \) como diferencia de números triangulares, es una reescritura de la expresión clásica de \( N \) como diferencia de cuadrados \( N=a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) y eso lleva al conocido método de factorización de Fermat, que es efectivo cuando los dos factores de \( N \) son cercanos.

Saludos.

[Luiscnoguera]

Hola

 No veo propuesto ahí ningún algoritmo concreto para factorizar un número. No veo que aporta expresar \( S \) como "todo unos" en una determinada base. Aún encima no puede saberse si es posible esa expresión (para \( B \) pequeño) sin conocer previamente la factoriazación. Hay alguna errata además. Por ejemplo:

Hola Luis, me disculpo por la confusión pero creo que mi formula esta bien y por no aclarar mi idea.

Creo que mi calculo esta bien, ya que por ejemplo sustituyendo B por 2 obtenemos: (2x+1)(2^k+4x+1), si B=3 obtenemos (2x+1)(3^k+4x+2) espero que se entienda

A lo que quiero llegar es a que si partimos de dos primos conocidos P y Q, podemos despejar la base B mediante la relación:

(B^k - 1) / (B - 1) = (Q - 2P - 1) / 2

La idea central es usar esta fórmula como un test de caracterización:

Si al despejar B para un k pequeño obtenemos un número entero entero y pequeño, el número N = P * Q es estructuralmente débil.

Si la solución para B no es un entero pequeño en ningún k acotado, entonces confirmamos que nuestro número no es débil ante este tipo de representación y está protegido contra esta vulnerabilidad específica donde sucede que la complejidad es logaritmica y a alguien no le costaria mucho probar con bases pequeñas.

Así, más que para hallar factores desconocidos desde cero, la fórmula sirve para verificar si un número que hayamos generado o seleccionado es seguro o si cae dentro de una de estas familias vulnerables por tener una base B pequeña.

Gracias de antemano tocayo.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que mi calculo esta bien, ya que por ejemplo sustituyendo B por 2 obtenemos: (2x+1)(2^k+4x+1), si B=3 obtenemos (2x+1)(3^k+4x+2) espero que se entienda

A lo que quiero llegar es a que si partimos de dos primos conocidos P y Q, podemos despejar la base B mediante la relación:

(B^k - 1) / (B - 1) = (Q - 2P - 1) / 2

En ese caso si \( P=2x+1 \),

\( Q=2P+1+\dfrac{2B^k-2}{B-1}=4x+3+\dfrac{2B^k-2}{B-1}=4x+2+\dfrac{2B^k-2+B-1}{B-1}=4x+2+\dfrac{2B^k+B-3}{B-1} \)

y NO:

\( N = (2x + 1) \cdot \left( \frac{2B^k + B - 3}{B - 1} + 4x +\color{red} 1\color{black} \right) \)

como tu pones.

La idea central es usar esta fórmula como un test de caracterización:

Si al despejar B para un k pequeño obtenemos un número entero entero y pequeño, el número N = P * Q es estructuralmente débil.

Si la solución para B no es un entero pequeño en ningún k acotado, entonces confirmamos que nuestro número no es débil ante este tipo de representación y está protegido contra esta vulnerabilidad específica donde sucede que la complejidad es logaritmica y a alguien no le costaria mucho probar con bases pequeñas.

Así, más que para hallar factores desconocidos desde cero, la fórmula sirve para verificar si un número que hayamos generado o seleccionado es seguro o si cae dentro de una de estas familias vulnerables por tener una base B pequeña.

Pero eso es una utilidad ínfima. Digamos que la mayoría de las factorizaciones en producto de dos primos no serán del tipo que descartas; y por otra parte hay otro muchos métodos de factorización efectivos ante primos con otras características.

Saludos.

[Luiscnoguera]

Hola

Creo que mi calculo esta bien, ya que por ejemplo sustituyendo B por 2 obtenemos: (2x+1)(2^k+4x+1), si B=3 obtenemos (2x+1)(3^k+4x+2) espero que se entienda

A lo que quiero llegar es a que si partimos de dos primos conocidos P y Q, podemos despejar la base B mediante la relación:

(B^k - 1) / (B - 1) = (Q - 2P - 1) / 2

En ese caso si \( P=2x+1 \),

\( Q=2P+1+\dfrac{2B^k-2}{B-1}=4x+3+\dfrac{2B^k-2}{B-1}=4x+2+\dfrac{2B^k-2+B-1}{B-1}=4x+2+\dfrac{2B^k+B-3}{B-1} \)

y NO:

\( N = (2x + 1) \cdot \left( \frac{2B^k + B - 3}{B - 1} + 4x +\color{red} 1\color{black} \right) \)

como tu pones.

Es cierto, me disculpo, ya verifique!
Te lo agradezco mucho!