[leonardo09]

Y=F(X)/G(X) ¿EXISTE UNA FORMULA GENERAL PARA LA ENESIMA DERIVADA CON RESPECTO A X

OTRA PREGUNTA ¿CUAL ES LA ENESIMA DERIVADA DEL SEN(X)?

[Ked]

Para derivada del cociente, no existe fórmula de la que tenga conocimiento. Sí existe para derivada del producto, es la fórmula de Leibniz. Si \( f(x) = g(x)h(x) \)

\( \displaystyle f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n{\displaystyle\binom{n}{k}}g^{(n-k)}(x)h^{(k)}(x) \)

La derivada enésima del seno, usando algo de trigonometría básica es:

\( \displaystyle \sin^{(n)}(x) = \sin{\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)} \)

[leonardo09]

pero ked , como justificas el cambio de signo cada dos derivadas , esa no es la derivada del seno , si fuese asi seria facil

[Ked]

\( (\sin x )' = \sin{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)} = \cos x \)
\( (\sin x )'' = \sin{\left(x+\pi\right)} = -\sin x \)
\( (\sin x )''' = \sin{\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)} = -\cos x \)
\( (\sin x )^{(4)} = \sin{\left(x+2\pi\right)} = \sin x \)

Y así...

[Ked]

Por si no te convence, lo puedes probar con inducción.

Paso base) \( \displaystyle (\sin x)' = \cos x = \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)= \sin \left(x+\frac{1\cdot \pi}{2}\right) \)
Paso inductivo)
H) \( (\sin x)^{(n)} = \sin \left(x+\frac{n\pi}{2}\right) \)
T) \( (\sin x)^{(n+1)} = \sin \left(x+\frac{(n+1)\pi}{2}\right) \)
La dem. es muy sencilla:

\( (\sin x)^{(n+1)} = (\sin x)^{(n)}' = \left(\sin \left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\right)' = \cos{\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)} = \sin{\left(x+\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right)} = \sin \left(x+\frac{(n+1)\pi}{2}\right) \)

[daniedmath]

Hay un documento muy bueno que te puede responder tu duda, está en https://arxiv.org/pdf/2110.09292 .