[DiscipulusEuclidis]

Si en un cuadrilátero las sumas de los cuadrados de los lados opuestos son iguales, los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos también lo son.

[Pie]

Si en un cuadrilátero las sumas de los cuadrados de los lados opuestos son iguales, los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos también lo son.

Una idea.. es fácil ver que cualquier cuadrilátero con sus diagonales perpendiculares cumple lo pedido:


Ya que:

\[ AD^2 + CB^2 = AO^2+DO^2+BO^2+CO^2 = AB^2+DC^2 \]

Y los lados del cuadrilátero formado por los puntos medios deben ser paralelos (por semejanza de triángulos) a estas diagonales, por lo que es un rectángulo, y por tanto sus diagonales son iguales..

Lo único que faltaría es probar es que solo los cuadriláteros con diagonales perpendiculares cumplen esa propiedad.. 

Corregido.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo único que faltaría es probar es que solo los cuadriláteros con diagonales perpendiculares cumplen esa propiedad.. 

Eso es inmediato. Si las diagonales no son perpendiculares se cortan formando un ángulo obtuso (pongamos el \( \angle AOB=\angle BOC \)) y otro agudo suplementario (\( \angle AOD=\angle COB \)).

Entonces para los lados opuestos a los obtusos:

\( AB^2+DC^2>AO^2+OB^2+DO^2+CO^2 \)

Para los otros dos lados situados frente a los agudos:

\( AD^2+BC^2<AO^2+OD^2+BO^2+CO^2 \)

Por tanto no se da la igualdad.

Saludos.

[Pie]

Hola

Lo único que faltaría es probar es que solo los cuadriláteros con diagonales perpendiculares cumplen esa propiedad.. 

Eso es inmediato. Si las diagonales no son perpendiculares se cortan formando un ángulo obtuso (pongamos el \( \angle AOB=\angle BOC \)) y otro agudo suplementario (\( \angle AOD=\angle COB \)).

Entonces para los lados opuestos a los obtusos:

\( AB^2+DC^2>AO^2+OB^2+DO^2+CO^2 \)

Para los otros dos lados situados frente a los agudos:

\( AD^2+BC^2<AO^2+OD^2+BO^2+CO^2 \)

Por tanto no se da la igualdad.

Saludos.

Ah, sí que era fácil/inmediato. Estaba centrado en otras cosas y casi ni lo pensé..  Gracias.

Saludos.