[marek]

Sea \( ABCD \) un cuadrilátero convexo que satisface \( \angle ABC = 90^\circ \), \( \angle DAB = 60^\circ \) y \( \angle BCD = 120^\circ \). Sea \( M \) el punto de intersección de las diagonales \( AC \) y \( BD \), y supóngase que \( BM = 1 \) y \( MD = 2 \). Calcule el área de la región cuadrangular \( ABCD \).

[Pie]

Sea \( ABCD \) un cuadrilátero convexo que satisface \( \angle ABC = 90^\circ \), \( \angle DAB = 60^\circ \) y \( \angle BCD = 120^\circ \). Sea \( M \) el punto de intersección de las diagonales \( AC \) y \( BD \), y supóngase que \( BM = 1 \) y \( MD = 2 \). Calcule el área de la región cuadrangular \( ABCD \).

Spoiler

El punto medio de \( AC \) es circuncentro de \( \triangle{ABC} \) y \( \triangle{ADC} \):



Como el ángulo central de \( \triangle DOB  \) es de \( 120^o \) y \( MD = 2BM \), se puede deducir que \( \angle MOD  \) es recto, ya que entonces \( BM = MO = \frac{1}{2}MD \) (y solo hay un punto \( M \) en \( BD \) que cumple \( MD = 2BM \)).

Entonces el radio vale \[ r = OD =  \sqrt{3}  \] y:

\( Area(CAD) = r^2 = 3 \)

Y los lados \( BC \) y \( BA \):

\[ BC = 2\sqrt{3} \sin(15^o) \]

\[ BA =2\sqrt{3} \cos(15^o) \]

Por tanto:

\[ Area(CAB) = \displaystyle\frac{BC\cdot BA}{2} =6\sin(15^o)\cos(15^o)=\displaystyle\frac{3}{2} \]

Y el área total:

\[ Area(ABCD) = 3 + \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{9}{2} \ u^2 \]

[cerrar]

Saludos.