[DiscipulusEuclidis]

Si se trazan líneas rectas desde cualquier punto P a los vértices de un paralelogramo ABCD, demuéstrese que el área del triángulo PBD es igual a la suma o la diferencia de las áreas de los triángulos PAB, PCB, según si P se encuentra (a) fuera; (b) dentro del ángulo ABC o de su ángulo opuesto por el vértice.

[Pie]

Si se trazan líneas rectas desde cualquier punto P a los vértices de un paralelogramo ABCD, demuéstrese que el área del triángulo PBD es igual a la suma o la diferencia de las áreas de los triángulos PAB, PCB, según si P se encuentra (a) fuera; (b) dentro del ángulo ABC o de su ángulo opuesto por el vértice.

Dejo el caso b), el otro imagino que será algo similar..



\[ Area(APD) + Area(BPC) = \frac{AD\cdot EP} {2} + \frac{BC\cdot FP}{2} = \frac{AD(EP+FP)}{2} = Area(ABD) = \frac{Area(ABCD)}{2}  \]

Luego:

\[ Area(APD) + Area(BPC) = Area(BPA) + Area(DPC) =Area (DBC) \Longrightarrow{} \]

\[ Area(PBD) = Area(DPC) + Area(BPC) - Area(DBC) = Area(DPC) + Area(BPC) - Area(BPA) - Area(DPC) = Area(BPC) - Area(BPA) \]

Saludos.