Hola EBO
Bienvenido al foro
Se demuestra primero que se cumple para :
n=1
En efecto :
Por un lado
\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{k.2^k}=\displaystyle\sum_{k=1}^1{k.2^k}=1. \ 2^1=2 \) R1
Por el otro lado
\( 2+(n-1).2^{n+1}=2+(1-1).2^{1+1}=2 \) R2
De los resultados R1 y R2 resulta \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{k.2^k}=2+(n-1).2^{n+1} \) es cierto, cuando n=1
Segundo demostrar que es cierto para n+1 considerando que es cierto para n
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{k.2^k}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{k.2^k}+(n+1)2^{n+1} \) ojo en este punto se considera la hipótesis que el teorema es cierto para n, luego se tiene :
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{k.2^k}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{k.2^k}+(n+1)2^{n+1}=2+(n-1).2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}=2+2n.2^{n+1}=2+n.2^{n+2}=2+((n+1)-1).2^{(n+1)+1} \) entonces es cierto para n+1 queda demostrado el teorema.
Saludos
