Buenas tardes,
Estudiando análisis matemático, encuentro que se realizan bastantes demostraciones formales sobre los teoremas que se enseñan en el libro. Entiendo que tiene todo el sentido del mundo de que sea así por rigor, y además ver estas demostraciones me ha llamado mucho la atención. Ya no solo demostraciones de teoremas de cálculo, sino de otras ramas de las matemáticas que he podido leer en la red.
Así son la inmensa mayoría de libros de matemáticas. Las demostraciones son esenciales, ya que sin ellas realmente es difícil, si no imposible, asimilar realmente lo estudiado. Todo ejercicio que uno resuelve de matemáticas, todo problema de matemáticas al que uno se enfrente, se resuelve hallando una demostración.
Esto me ha generado una duda, además de otra que expongo a continuación:
1- ¿Como se puede plantear una premisa inicial para realizar una demostración?. Imagino que cada caso es distinto, pero ¿como encontrar un buen punto de partida?. ¿Este punto lo da la intuición y la experiencia?
La experiencia, la inteligencia, la habilidad natural para las matemáticas, el trabajo duro y la suerte, en general esos factores intervienen en mayor o menor medida en hallar demostraciones. Por eso la investigación matemática lo que hace es allanar el camino para, quizá en el futuro, demostrar o refutar determinadas conjeturas de interés.
Generalmente uno parte de una lista finita (o contable) de premisas ya establecidas por el problema al que se enfrenta, entonces en principio no se necesitan premisas adicionales. Aunque para hallar una demostración a veces uno añade premisas extras que permiten demostrar una conjetura más débil que la original, pero que quizá permita en su día hallar una demostración de la conjetura original.
Quizá lo más importante es plantear bien el problema a demostrar, y ver cómo transformarlo a otro problema equivalente que sea quizá más sencillo de demostrar. En este sentido diría que transformar un problema matemático en otro equivalente ayuda muchas veces a hacer una demostración, y en esto una herramienta elemental básica es saber que las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes:
\[
\require{enclose}
\begin{align*}
\enclose{circle}{1}&:\,A\implies B\\
\enclose{circle}{2}&:\,\lnot B \implies \lnot A\\
\enclose{circle}{3}&:\, A\,\land\, \lnot B\implies \bot\\
\enclose{circle}{4}&:\, \top \implies \lnot A \,\lor\, B
\end{align*}
\]
Ahí, si \( \enclose{circle}{1} \) representa la proposición a demostrar, entonces si demuestras \( \enclose{circle}{2} \) en vez de demostrar \( \enclose{circle}{1} \) directamente, a eso se le denomina una "demostración por contraposición", y si demuestras \( \enclose{circle}{3} \) en vez de \( \enclose{circle}{1} \) se tiene una "demostración por reducción al absurdo" o "demostración por contradicción". La forma \( \enclose{circle}{4} \) no sé si tiene algún nombre conocido, pero es equivalente a las otras.
Observa que todas esas formas son implicaciones, y para demostrar una implicación de la forma \( C\implies D \) lo que se hace es asumir que la premisa \( C \) es verdadera y, a partir de ahí en una serie de pasos, demostrar que eso hace que \( D \) sea también necesariamente cierta.
2- En el caso de que una demostración pueda realizarse siguiendo diferentes métodos y hacer uso de herramientas matemáticas de otras ramas distintas a la del teorema planteado, ¿como saber cuando recurrir a una herramienta u otra?. ¿Como relacionar las diferentes ramas matemáticas para complementar estas y realizar la demostración?
Pues como antes te comentaba, con ingenio, experiencia, esfuerzo, capacidad y a veces algo de suerte. Sin embargo la inmensa mayoría de demostraciones de libros de texto son relativamente sencillas y se siguen de un camino previamente pavimentado, no requieren de un ingenio o trabajo especial. La mayoría, aunque no todas, obviamente. Ya lo irás viendo.
