[pilar12]

\( \displaystyle\int x\cdot 2^{x^2} \cdot{ \ln(2)}dx \)

Gracias de antemano por vuestras respuestas.
Mensaje corregido desde la administración.

[Pie]

La integral de: f(x)= x por 2 elevado a x y esta x elevada al cuadrado por ln2
Gracias de antemano por vuestras respuestas.

¿Es esto?

\[ \displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2} \ln(2)} dx  \]

Si es así, haciendo el cambio:

\[ u = x^2\ln(2) \rightarrow du = 2x\ln(2) dx \rightarrow dx = du \displaystyle\frac{1}{2x\ln(2)} \]

Queda:

\[ \displaystyle\frac{1}{2\ln(2)}\displaystyle\int
2^u du =\displaystyle\frac{1}{2\ln(2)} \cdot \displaystyle\frac{2^u}{\ln(2)}=\displaystyle\frac{2^u}{2\ln^2(2)} \]

Deshaciendo el cambio:

\[ \displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2} \ln(2)} dx = \displaystyle\frac{2^{x^2\ln(2)}}{2\ln^2(2)} +C \]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

La integral de: f(x)= x por 2 elevado a x y esta x elevada al cuadrado por ln2
Gracias de antemano por vuestras respuestas.

Si he interpretado bien.... 
\( \displaystyle\int x2^{x^2\ln 2}\,dx=\dfrac{1}{2\ln^2 2}2^{x^2\ln 2}+C \)
Se adelantó Pie 
Saludos

[pilar12]

No me he explicado bien el ln2 no esta en el exponente
f(x)= x por 2 elevado a x al cuadrado  y este a su vez por ln2
Siento las molestias.

[Pie]

No me he explicado bien el ln2 no esta en el exponente
f(x)= x por 2 elevado a x al cuadrado  y este a su vez por ln2
Siento las molestias.

La idea es la misma (solo que queda más potito )

\[ \int x\cdot 2^{x^2} \cdot{ \ln(2)}dx = \ln(2) \int x \cdot 2^{x^2} dx \]

Haciendo el cambio:

\[ u = x^2 \rightarrow du = 2x dx \rightarrow dx = \displaystyle\frac{1}{2x}du
 \]

Queda:

\[ \frac{\ln(2)}{2} \int 2^u du = \frac{\ln(2)}{2} \cdot \displaystyle\frac{2^u}{\ln(2)} = 2^{u-1} \]

Deshaciendo el cambio:

\[ \int x\cdot 2^{x^2} \cdot{ \ln(2)}dx = 2^{x^2-1} + C \]

PD. Estaría bien que pusieras las fórmulas en Latex para evitar estas confusiones..

Saludos.

[pilar12]

Muchísimas gracias por las respuestas y perdón por mi error. Lo entiendo, pero ¿Se podría hacer sin un cambio de variable?
Gracias querido foro.

[Pie]

Muchísimas gracias por las respuestas y perdón por mi error. Lo entiendo, pero ¿Se podría hacer sin un cambio de variable?
Gracias querido foro.

No estoy muy seguro de hasta qué punto sería diferente (o un buen método en general) , pero podrias hacerlo notando que la derivada de \( 2^{x^2} \) es \[ 2x\cdot 2^{x^2}\cdot \ln(2) \], que es el doble de la función que queremos integrar. Entonces:

\[ \int x\cdot 2^{x^2}\cdot \ln(2) = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2^{x^2}+C \]

PD. Digo que no sé si sería muy diferente porque al final el cambio de variable se basa en la regla de la cadena de las derivadas, cosa que estariamos usando en este caso al derivar parte del integrando. Asi que al final estaríamos haciendo un poco lo mismo..

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Muchísimas gracias por las respuestas y perdón por mi error. Lo entiendo, pero ¿Se podría hacer sin un cambio de variable?
Gracias querido foro.

También puedes hacer el cambio \( u=2^{x^2} \) de donde \( du=2x 2^{x^2}\ln 2\,dx \) y al llevarlo a la integral
\( \displaystyle\int x2^{x^2}\ln 2\, dx=\displaystyle\int \dfrac{1}{2}\,du=\dfrac{u}{2}+C=\dfrac{2^{x^2}}{2}+C=2^{x^2-1}+C \)
Saludos

[pilar12]

Muchísimas gracias por el interés tomado en mi problema; queda perfectamente entendido.