[ani_pascual]

Hola:
Ejercicio de un examen de A.M. de los primeros cursos universitarios:

Sea \( C \) la curva intersección entre el paraboloide de ecuación \( z=x^2+2y^2 \)
y el cilindro parabólico de ecuación \( z=4+y^2 \) (orientada en sentido antihorario vista desde arriba).
Calcúlese la siguiente integral de línea
\( \displaystyle\int_Cyz\,dx-xz\,dy+xy\,dz  \) directamente y mediante algún teorema apropiado.
¿Algún forista se anima? Es para comparar el resultado. 
Gracias
Saludos

[delmar]

Hola

La línea es la intersección de un paraboloide elíptico con \( z\geq{0} \) y un cilindro parabólico abierto hacia arriba con recta de vértices (x,0,4), la intersección necesariamente cumple :

\( x^2+2y^2=4+y^2\Rightarrow{x^2+y^2=4} \) luego la proyección de la línea sobre plano XY es una circunferencia con centro en el origen y radio 2. La idea es parametrizar la línea y se puede hacer parametrizando su proyección, considerando como parámetro \( \theta \) de las coordenadas cilíndricas de la línea se tiene :

\( r(\theta) =(2cos \theta, 2 sen \theta, 4+4sen^2 \theta)  \) vector posición de la línea donde  \( 0\leq{\theta} \leq{2 \pi} \)

En consecuencia la derivada es :

\( r'(\theta) =(-2 se \theta, 2 cosa \theta, 8 sen \theta cos\theta)  \)

El campo vectorial evidentemente es \( F(x, y, z)= (yz, - xz, xy)  \) en los puntos de la línea será :

\( F(r(\theta)) =(16 sen \theta-8 sen \theta cos^2 \theta, - (8 cos \theta + 8 cos \theta sen^2 \theta), 4sen \theta cos \theta)  \) para la primera coordenada uso \( z=4+4 sen^2 \theta=8-4cos^2 \theta \)

El integral de línea del enunciado se puede poner como:

\( \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} F(r(\theta)). r'(\theta) d \theta=\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} - 32 sen^2 \theta-16 cos^2 \theta +8sen^2 2 \theta \ d \theta=-40 \pi \)

Lo último es operativo, verificar

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
\( \displaystyle\int_0^{2\pi}F(r(\theta))\cdot r'(\theta)\,d\theta=\cdots=-40 \pi \)
...

Gracias delmar  , coincidimos. Llego al mismo resultado aplicando el teorema de Stokes 🖐🏻
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
\( \displaystyle\int_0^{2\pi}F(r(\theta))\cdot r'(\theta)\,d\theta=\cdots=-40 \pi \)
...

Gracias delmar  , coincidimos. Llego al mismo resultado aplicando el teorema de Stokes 🖐🏻
Saludos

Yo llego al mismo resultado de esta manera: parametrizo la curva intersección como \( \varphi (t):= 2(\cos t,\operatorname{sen}t, 2+2\operatorname{sen}^2 t) \) entonces me queda

\[
\varphi ^*(xy\,d z-xz\,d y+yz\,d x)=-16(2 \operatorname{sen}^4t+\cos ^2 t)\,d t
\]

lo cual integro en \( [0,2\pi] \) y me da el \( -40\pi \). Pero no veo cómo aplicar el teorema de Stokes a este ejercicio, al menos no sin complicarlo. Si derivamos la forma diferencial dada en la integral nos queda \( 2(x\,d y\,d z-z\,d x\,d y) \), que podríamos aplicar a cualquier superficie cuyo borde sea la curva intersección, ¿a eso te refieres con aplicar el teorema de Stokes?

[ani_pascual]

Hola:

...
¿a eso te refieres con aplicar el teorema de Stokes?

El teorema de Stokes, ( ¡¿qué te voy yo a decir a ti?!  ), dice que la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional a través de una superficie abierta que tenga a dicha curva como frontera.
\( \displaystyle\oint_C \vec{F}\cdot \vec{dr}=\displaystyle\int\hspace{-2mm}\int_S(\nabla \times \vec{F})\cdot \vec{dS} \).
En este caso, si es \( \vec{F}=(yz, -xz,xy) \), su rotacional es \( \nabla \times \vec{F}=(2x, 0, -2z) \) y si se usa la parametrización de la superficie
\( \phi(r,\theta)=(r\cos\theta, r\sin\theta, 4+ r^2\sin^2\theta) \), con \( r\in [0,2], \theta\in [0,2\pi] \), resulta que \( \vec{dS}=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\times\dfrac{\partial \phi}{\partial\theta}=(0, -2r^2,r) \) con lo que quedaría
\( \displaystyle\oint_C\vec{F}\cdot\vec{dr}=\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^2-2r(4+r^2\sin^2\theta)\,dr\,d\theta=\\\displaystyle\int_0^{2\pi}-16-8\sin^2\theta\,d\theta=\cdots=-40\pi \)
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
¿a eso te refieres con aplicar el teorema de Stokes?

El teorema de Stokes, ( ¡¿qué te voy yo a decir a ti?!  ), dice que la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional a través de una superficie abierta que tenga a dicha curva como frontera.
\( \displaystyle\oint_C \vec{F}\cdot \vec{dr}=\displaystyle\int\hspace{-2mm}\int_S(\nabla \times \vec{F})\cdot \vec{dS} \).
En este caso, si es \( \vec{F}=(yz, -xz,xy) \), su rotacional es \( \nabla \times \vec{F}=(2x, 0, -2z) \) y si se usa la parametrización de la superficie
\( \phi(r,\theta)=(r\cos\theta, r\sin\theta, 4+ r^2\sin^2\theta) \), con \( r\in [0,2], \theta\in [0,2\pi] \), resulta que \( \vec{dS}=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\times\dfrac{\partial \phi}{\partial\theta}=(0, -2r^2,r) \) con lo que quedaría
\( \displaystyle\oint_C\vec{F}\cdot\vec{dr}=\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^2-2r(4+r^2\sin^2\theta)\,dr\,d\theta=\\\displaystyle\int_0^{2\pi}-16-8\sin^2\theta\,d\theta=\cdots=-40\pi \)
Saludos

Sí, había pensado usar esa misma superficie para el teorema de Stokes, pero no seguí ese camino por parecerme más laborioso, por eso preguntaba a ver si habías encontrado algo que no se me hubiese ocurrido.