[Albersan]

Hola, qué tal, cómo están?
Me pueden por favor ayudar con lo siguiente?

Fórmula de Schwarz-Christoffel.
Sea f una función que es analítica en el dominio y>0 y tiene la derivada \( f'(z)=A*(z-x_1)^{({{\alpha_1/\pi}-1})}*(z-x_2)^{({{\alpha_2/\pi}-1})}*........*(z-x_n)^{({{\alpha_n/\pi}-1})} \), donde      \( x_1<x_2<...<x_n \),     \( 0<\alpha_i<2\pi \), para \( 1\leq{i}\leq{n} \), y A una constante compleja. Entonces el semiplano superior \( y\geq{0} \) se mapea por w=f(z) sobre una región poligonal no acotada con los ángulos interiores \( \alpha_1, \alpha_2,....,\alpha_n \).


Mi ejercicio es el siguiente,

Utilice la fórmula de Schwarz-Christoffel para construir un mapeo conforme del semiplano superior sobre la región poligonal definida por \( u\geq{0} \), \( -1\leq{v}\leq{1} \).

Los ángulos interiores de esta región poligonal son \( \alpha_1=\alpha_2=\pi/2 \)  y  los vértices son \( w_1=-i \), \( w_2=i \). Para encontrar el mapeo deseado, aplicamos la fórmula con \( x_1=-1 \) y \( x_2=1 \).

Entonces \( f'(z)=A(z+1)^{-1/2}(z-1)^{-1/2} \),   entonces    \( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{(z^2-1)^{1/2}} \). ¿Cómo continuo?


Muchas Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Fórmula de Schwarz-Christoffel.
Sea f una función que es analítica en el dominio y>0 y tiene la derivada \( f'(z)=A*(z-x_1)^{({{\alpha_1/\pi}-1})}*(z-x_2)^{({{\alpha_2/\pi}-1})}*........*(z-x_n)^{({{\alpha_n/\pi}-1})} \), donde      \( x_1<x_2<...<x_n \),     \( 0<\alpha_i<2\pi \), para \( 1\leq{i}\leq{n} \), y A una constante compleja. Entonces el semiplano superior \( y\geq{0} \) se mapea por w=f(z) sobre una región poligonal no acotada con los ángulos interiores \( \alpha_1, \alpha_2,....,\alpha_n \).


Mi ejercicio es el siguiente,

Utilice la fórmula de Schwarz-Christoffel para construir un mapeo conforme del semiplano superior sobre la región poligonal definida por \( u\geq{0} \), \( -1\leq{v}\leq{1} \).

Los ángulos interiores de esta región poligonal son \( \alpha_1=\alpha_2=\pi/2 \)  y  los vértices son \( w_1=-i \), \( w_2=i \). Para encontrar el mapeo deseado, aplicamos la fórmula con \( x_1=-1 \) y \( x_2=1 \).

Entonces \( f'(z)=A(z+1)^{-1/2}(z-1)^{-1/2} \),   entonces    \( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{(z^2-1)^{1/2}} \). ¿Cómo continuo?

El siguiente paso es hallar una primitiva de la función \( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{(z^2-1)^{1/2}} \) que has obtenido.

E imponer las condiciones:

\( f(-1)=i \)
\( f(1)=-i \)



Saludos.

CORREGIDO

[Albersan]

Gracias Luis y disculpen el atraso.

\( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{(z^2-1)^{1/2}} \), entonces \( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{[-1(1-z^2)]^{1/2}}=\displaystyle\frac{A}{i}\displaystyle\frac{1}{(1-z^2)^{1/2}}=-Ai\displaystyle\frac{1}{(1-z^2)^{1/2}} \).

Una antiderivada sería \( f(z)=-Ai\cdot{sen^{-1}(z)}+B \). Si se elige \( f(-1)=-i \)   y   \( f(1)=i \), entonces \( A \)  y   \( B \) deben satisfacer:

\( -Ai\cdot{sen^{-1}(-1)}+B=Ai\displaystyle\frac{\pi}{2}+B=-i \)         (1)            y

\( -Ai\cdot{sen^{-1}(1)}+B=-Ai\displaystyle\frac{\pi}{2}+B=i \)          (2)

Sumando (1) y (2) se llega a que \( B=0 \)   y   luego  \( A=-\displaystyle\frac{2}{\pi} \). Por lo tanto

\( f(z)=i\displaystyle\frac{2}{\pi}sen^{-1}(z) \).      Donde   \( sen^{-1}(z)=-i\cdot{ln[iz+(1-z^2)^{1/2}]} \)


Quisiera dar 2 ejemplos de los muchos que hay donde el valor de la antiderivada encontrada no corresponde a la imagen de la función.

1) \( f(-2)\approx{-0.838401-i} \),
2) \( f(-\displaystyle\frac{1}{2}+i)\approx{-0.589594-0.2224598i} \).   Que no pertenecen a la franja semi-infinita.

¿Me podrían decir si la primitiva está bien calculada?


Muchas Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Luis y disculpen el atraso.

\( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{(z^2-1)^{1/2}} \), entonces \( f'(z)=\displaystyle\frac{A}{[-1(1-z^2)]^{1/2}}=\displaystyle\frac{A}{i}\displaystyle\frac{1}{(1-z^2)^{1/2}}=-Ai\displaystyle\frac{1}{(1-z^2)^{1/2}} \).

Una antiderivada sería \( f(z)=-Ai\cdot{sen^{-1}(z)}+B \). Si se elige \( f(-1)=-i \)   y   \( f(1)=i \), entonces \( A \)  y   \( B \) deben satisfacer:

Es que es \( f(-1) =i \) y \( f(1)=-i \). Se ve en el dibujo.

Saludos.

[Albersan]

Si de acuerdo, gracias,

Con las condiciones \( f(-1)=i \),   \( f(1)=-i \), la primitiva es \( f(z)=-\displaystyle\frac{2i}{\pi}sen^{-1}(z) \).

Pero quiero ver si pueden aclararme una duda. Y es que tomando el seno inverso por definición, voy a tomar el valor de la función en \( z=2 \).

1) \( sen^{-1}(2)=-i\cdot{ln[2i+(1-2^2)^{1/2}]}=-i\cdot{ln[2i\pm{\sqrt[ ]{3}i}]} \). Tomando \( -\sqrt[ ]{3}i \),       \( sen^{-1}(2)=-i\cdot{ln[2i-{\sqrt[ ]{3}i}]}=-i(ln|2-\sqrt[ ]{3}|+i\displaystyle\frac{\pi}{2})=-i(-1.31696+1.570796i) \), por lo tanto \( f(2)=-\displaystyle\frac{2}{\pi}i\cdot{sen^{-1}(2)}\approx{0.838402-i} \)


2) Valor de \( f(2) \) con calculadora:  \( f(2)\approx{-0.8384014-i} \)


3) Valor de la función cerca de \( z=2 \). Por ejemplo \( z=2+0.001i \),  \( f(2+0.001i)\approx{0.838402-0.999632i} \).


¿Porqué razón 1) funciona con \( -\sqrt[ ]{3}i \) y no con \( \sqrt[ ]{3}i \) ?
¿Porqué los valores de 1) y 3) son correctos y 2) no lo es?



Muchas Gracias