Una recta que pasa por el incentro $$I$$ del triángulo $$ABC$$ interseca su círculo circunscrito en $$F$$ y $$G$$ y su círculo inscrito en $$D$$ y $$E,$$ con $$D \in EF.$$ Si $$r$$ denota el radio del círculo inscrito, demuestre que $$DF.EG \geq{ r^2}.$$
Sug: Denote por $$PQ$$ el diametro del circulo circunscrito que pasa por los puntos $$O$$ y $$I.$$ Aplique el Teorema de las cuerdas a $$PQ$$ y $$FG$$ junto con el Teorema de Euler, para obtener: $$DF.EG+r(DF+EG)+r^2=2Rr.$$
Por el teorema de las cuerdas:
\[ FI\cdot IG = PI\cdot IQ \Longrightarrow{} \]
\[ (DF+r)(EG+r) = (R-OI)(R+OI) = R^2 - OI^2 \]
Por el teorema de Euler:
\[ OI^2 = R(R-2r) \]
De donde:
\[ (DF+r)(EG+r) = R^2 - R(R-2r) \Longrightarrow{} \]
\[ DF\cdot EG + r(DF+EG) + r^2 = 2Rr \]
Pero como:
\( DF+EG \leq{} 2R-2r \)
Se tiene que:
\( DF\cdot EG + r(2R-2r) + r^2 \geq{} 2Rr \Longrightarrow{} \)
\[ DF\cdot EG + 2Rr - 2r^2 + r^2 \geq{} 2Rr \Longrightarrow{} \]
\[ DF\cdot EG \geq{}r^2 \]
Saludos.
