[zorropardo]

$$ABCD$$ es un cuadrilátero con diagonales $$AC$$ y $$BD,$$ inscrito en un círculo $$\Gamma$$. Demuestre que existe un punto $$P$$ en $$\Gamma$$ tal que: $$PA+PC=PB+PD.$$

Sug: Usar o teorema de Ptolomeo para mostrar que $$P$$ esta en el arco $$AD$$ que no contiene a $$B$$ y que $$P$$ es la interseccion de $$\Gamma $$ com el circulo de Apolonio de lado $$(A,C)$$

[Luis Fuentes]

Hola

$$ABCD$$ es un cuadrilátero con diagonales $$AC$$ y $$BD,$$ inscrito en un círculo $$\Gamma$$. Demuestre que existe un punto $$P$$ en $$\Gamma$$ tal que: $$PA+PC=PB+PD.$$

Sug: Usar o teorema de Ptolomeo para mostrar que $$P$$ esta en el arco $$AD$$ que no contiene a $$B$$ y que $$P$$ es la interseccion de $$\Gamma $$ com el circulo de Apolonio de lado $$(A,C)$$

Si consideras \( P \) en el arco indicado y aplicas el Teorema de Ptolomeo sobre el cuadrilátero \( ABCP \) tienes:

\( PB\cdot AC=PA\cdot BC+AB\cdot PC \)

Si lo aplicas en el cuadrílatero \( ACDP \) tienes:

\( PD\cdot A\color{red}C\color{black}=PC\cdot AD-PA\cdot CD \)

Si sustituimos en la relación  \( PA+PC=PB+PD \) queda:

\( AC\cdot (PA+PC)=PA\cdot BC+AB\cdot PC+PC\cdot AD-PA\cdot CD \)

de donde:

\( PA(AC-BC+CD)=PC(AB+AD-AC) \)

y por tanto:

\( \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB+AD-AC}{AC-BC+CD}=k \)

y de ahí que \( P \) esté en el círculo de Apolonio de razón \( k \) y puntos \( A,C \).

Saludos.

CORREGIDO

[zorropardo]

Hola, no entendi en la parte que escribes:

Si sustituimos en la relación  $$𝑃𝐴+𝑃𝐶=𝑃𝐵+𝑃𝐷 $$

Como puedes substituir si es lo que se quiere probar 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no entendi en la parte que escribes:

Si sustituimos en la relación  $$𝑃𝐴+𝑃𝐶=𝑃𝐵+𝑃𝐷 $$

Como puedes substituir si es lo que se quiere probar 

Lo que se prueba es que si hay un punto \( P \) cumpliendo lo pedido entonces necesariamente pertence al círculo de Apolonio de \( A,C \) con la razón indicada.

Pero de hecho en el desarrollo se ha probado que:

\( AC(PA+PC-PB-P\color{red}D\color{black})= PA(AC−BC+CD)-PC(AB+AD−AC) \)

Y esa expresión es cero cuando \( P \) está en el círculo indicado.

Saludos.

CORREGIDO

[zorropardo]

Pero para obtener : $$AC(PA+PC-PB-P\color{red}D\color{black})= PA(AC−BC+CD)-PC(AB+AD−AC)$$

Usaste previamente que : $$PA+PC=PB+PD.$$

Como se podria probar directamente que :  $$PA+PC=PB+PD.$$ 

[Luis Fuentes]

Hola

Pero para obtener : $$AC(PA+PC-PB-PC)= PA(AC−BC+CD)-PC(AB+AD−AC)$$

Usaste previamente que : $$PA+PC=PB+PD.$$

No, no lo uso. Para llegar a :

\( AC(PA+PC-PB-PD)= PA(AC−BC+CD)-PC(AB+AD−AC) \)

sólo hay que usar el Teorema de Ptolomeo:

Si consideras \( P \) en el arco indicado y aplicas el Teorema de Ptolomeo sobre el cuadrilátero \( ABCP \) tienes:

\( PB\cdot AC=PA\cdot BC+AB\cdot PC \)

Si lo aplicas en el cuadrílatero \( ACDP \) tienes:

\( PD\cdot AC=PC\cdot AD-PA\cdot CD \)

Entonces:

\( AC(PA+PC-PB-PD)=AC\cdot PA+AC\cdot PC-AC\cdot PB-AC\cdot PD=\\\qquad =AC\cdot PA+AC\cdot PC-(PA\cdot BC+AB\cdot PC)-(PC\cdot AD-PA\cdot CD)=\\\qquad =PA(AC−BC+CD)-PC(AB+AD−AC) \).

Y ahora si:

\( \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB+AD-AC}{AC-BC+CD} \)

es decir, si \( P \) pertenece al círculo de Apolonio indicado esa igualdad es cero.

Saludos.

[zorropardo]

Genial, muy agradecido.