[Quema]

Esta bien esto:

\(
\text{Sea }1\le x_1\le x_2\le x_3\le 4.
 \)
Sean variables aleatorias independientes:
\(
X_i=\begin{cases}
x_i & \text{con prob.\ } 1/x_i,\\
0   & \text{con prob.\ } 1-1/x_i.
\end{cases}
 \)

\(
F(x_1,x_2,x_3)=\mathbb{P}(X_1+X_2+X_3<4).
 \)

Entoncs \( F \) es cuasiconvexa en cada coordenada. En particular, para \( x_1 \) tenemos:

\(
F(x_1,x_2,x_3)=
\begin{cases}
1-\dfrac{1}{x_2 x_3}, & x_1+x_2+x_3\ge 4,\\[2mm]
1-\dfrac{1}{x_1 x_2 x_3}, & x_1+x_2+x_3<4.
\end{cases}
 \)

\(
\text{Fijados }x_2,x_3,\; S=x_1+x_2+x_3.
 \)

\(
S\ge4 \;\Rightarrow\; F=1-\frac{1}{x_2x_3}\ \text{(constante en $x_1$)}.
 \)

\(
S<4 \;\Rightarrow\; F=1-\frac{1}{x_1x_2x_3}
\ \text{(convexa en $x_1$ porque $t\mapsto 1/t$ es convexa)}.
 \)

Un tramo constante + un tramo convexo con un único punto de quiebre ⇒ cuasiconvexidad. Eso implica que por ejemplo para cada coordenada los puntos a analizar son el extremos y los de discontinuidad de la probabilidad (que seguramente tengan que cumplir que la coordenada esté en alguna ecuación de sumas parciales iguales a cuatro (en este caso)).

[Luis Fuentes]

Hola

Un tramo constante + un tramo convexo con un único punto de quiebre ⇒ cuasiconvexidad. Eso implica que por ejemplo para cada coordenada los puntos a analizar son el extremos y los de discontinuidad de la probabilidad (que seguramente tengan que cumplir que la coordenada esté en alguna ecuación de sumas parciales iguales a cuatro (en este caso)).

 A vuelapluma si la conclusión es lo que hemos marcado en rojo, eso ya está visto y probado aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=129678.0

 Pero más aún:

En particular, para \( x_1 \) tenemos:

\(
F(x_1,x_2,x_3)=
\begin{cases}
1-\dfrac{1}{x_2 x_3}, & x_1+x_2+x_3\ge 4,\\[2mm]
1-\dfrac{1}{x_1 x_2 x_3}, & x_1+x_2+x_3<4.
\end{cases}
 \)

Eso está mal. En primer lugar no puede saberse como es la función sin fijar unos valores de \( x_2,x_3 \). Por ejemplo para \( x_2=2.4,\quad x_3=2.8 \) sería:

- Si \( 1\leq x_1< 1.2 \) entonces \( F(x_1,2.4,2.8)=1-P(X_2=x_2,X_3=x_3)=1-\dfrac{1}{x_2x_3}=1-\dfrac{1}{2.4\cdot 2.8} \) cte

- Si \( 1.2\leq x_1< 1.6 \) entonces \( F(x_1,2.4,2.8)=P(X_3=0)+P(X_1=0,X_2=0,X_3=x_3)=1-\dfrac{1}{x_3}+\left(1-\dfrac{1}{x_1}\right)\left(1-\dfrac{1}{x_2}\right)\dfrac{1}{x_3}=0.85119 - \dfrac{0.208333}{x} \)

- Si \( 1.6\leq x_1<2.4 \) entonces \( F(x_1,2.4,2.8)=P(X_1=X_2=X_3=0)+P(X_1=x_1,X_2=0,X_3=0)+P(X_1=0,X_2=x_2,X_3=0)+P(X_1=0,X_2=0,X_3=x_3)=0.85119 - \dfrac{0.47619}{x} \)



 Y no es cierto que sea cuasiconvexa (si incluímos los puntos de discontinuidad). Si lo fuese el máximo en la región que he remarcado debería de estar en un extremo. Pero no es así.

Saludos.