[Luis Fuentes]

Hola

Ahora, para que esto se cumpla para toda distancia d, la única opción es que la matriz A sea la identidad y b el vector nulo, ya que siempre podemos construir una distancia para la cual la invarianza "falle" (El resultado anterior)

¿Es esto correcto?.

La duda es que si quieres que se cumpla para toda distancia \( d \) y para toda variable aleatoria \( X \).

Por ejemplo si FIJAS el punto \( x \) y tomas como variable aleatoria la trivial \( X=x \) constante, entonces\(  g(x,X)= E[ d(x,X)]=0 \) es invariante con cualquier distancia y con cualquier grupo de transformaciones.

O si tomas una variable aleatoria en puntos equiprobables y tomas un grupo de transformaciones donde esos puntos como conjunto sean invariantes, entonces de nuevo \(  g(x,X)= E[ d(x,X)]=0 \) es invariante con cualquier distancia por ese grupo de transformaciones.

Saludos.

[okotol]

La duda es que si quieres que se cumpla para toda distancia \( d \) y para toda variable aleatoria \( X \)

Hola.

Si, quiero probarlo para toda distancia \( d \) y toda variable aleatoria \( X \).

Pero solo me falta un apartado para concluir la prueba. Con una de estas dos opciones sirve:

-> Encontrar una distancia d que solo sea invariante por la transformación identidad
o
-> Demostrar que la única transformación que consigue la invarianza de todas las distancias, es la transformación identidad.

Entiendo que la primera es difícil de encontrar.
Pero para la segunda había intentado encontrar una serie de distancias donde la intersección de transformaciones, que hacen la distancia invariable, resulte la transformación identidad.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

-> Demostrar que la única transformación que consigue la invarianza de todas las distancias, es la transformación identidad.

Pero ya te indiqué antes dada una transformación que NO es la identidad, como construir una distancia que no es invariante por esa transformación. Eso equivale a que la única transformación invariante por todas las distancias es la identidad.

Saludos.