[Quema]

Es que supongamos que quiero hallar el mínimo de la probabilidad \( f(x_1,x_2,x_3,x_4) \) con la restricción \( x_1+x_2=5 \). Entonces lo que yo pienso es que \( x_3 \) y \( x_4 \) no van a valer cualquier cosa. Valdrán \( 1,x_1,x_2 \) o \( 5 \). Lo importante, creo, es que en cada región la derivada de \( f \) respecto a \( x_3 \) o \( x_4 \) sea monótona en esa región. Entonces digamos que estoy analizando para \( n=3 \) y quiero hallar el mínimo con la condición \( x_1+x_2=4 \) entonces \( x_3 \) en el mínimo saldrá de los valores \( 1,x_1,x_2 \) o 4. Con esa información creo que es fácil hallar el ínfimo de la probabilidad \( f(x_1,x_2,x_3) \). No se si es fácil probar que las derivadas parciales no cambian de signo en cada región (es decir, pueden ser cero, negativas o positivas).

[Luis Fuentes]

Hola

Es que supongamos que quiero hallar el mínimo de la probabilidad \( f(x_1,x_2,x_3,x_4) \) con la restricción \( x_1+x_2=5 \). Entonces lo que yo pienso es que \( x_3 \) y \( x_4 \) no van a valer cualquier cosa. Valdrán \( 1,x_1,x_2 \) o \( 5 \). Lo importante, creo, es que en cada región la derivada de \( f \) respecto a \( x_3 \) o \( x_4 \) sea monótona en esa región. Entonces digamos que estoy analizando para \( n=3 \) y quiero hallar el mínimo con la condición \( x_1+x_2=4 \) entonces \( x_3 \) en el mínimo saldrá de los valores \( 1,x_1,x_2 \) o 4. Con esa información creo que es fácil hallar el ínfimo de la probabilidad \( f(x_1,x_2,x_3) \). No se si es fácil probar que las derivadas parciales no cambian de signo en cada región (es decir, pueden ser cero, negativas o positivas).

Pero ya hemos probado precisamente al principio de este hilo, que la función en cada región es creciente respecto a cada  \( x_i \).

Pero el problema está en eso de "cada región"; nuestro problema está en los puntos frontera. Problema desde dos puntos de vista:

- Hay muchas fronteras distintas.
- Sistematizar la optimización en cada una de ellas.

Si tú sólo tomas la restricción \( x_1+x_2=5 \) y dejas las otras dos libres, no te estás moviendo en "una sola región". Esas dos libres dependiendo de sus valores cambiarán de región; y estamos en las mismas: habría que analziar por separado que pasa en las fronteras de esas regiones.

Saludos.

[Quema]

 Supongamos que tenemos todos los \( x_t \) enteros salvo dos que no son enteros y su suma es entera, digamos \( x_i<x_j \)\( x_i+x_j=k\leq{}1+n \) y cada coordenada \( x_t \) cumple alguna de las ecuaciones con sumas parciales igual a \( 1+n \). He probado numéricamente que la probabilidad \( P(S_n<1+n) \) es cóncava respecto a \( x_j \) (los sumandos siguen siendo los mismos). En el gráfico se ve el comportamiento de \( g(x_3)=P(S_4<5) \) para \( x_1=2,x_2=3 \) y \( x_3+x_4=5 \). Además \( g(x_3) \) es simétric respecto a \( x_3=k/2 \)

Para \( n=4 \) creo que la prueba es así. Sea \( R=X_1+X_2 \) con \( x_3+x_4=k=5 \) (para simplificar supuse que la suma era 5, pero podría ser otro entero, bajo ciertas condiciones, creo) entonces

\( g(x_3)=P(S_4<5)=p_{00}P(R<5)+p_{10}P(R<5-x_3)+p_{01}P(R<x_3)+p_{11}P(S_4<0)=p_{00}P(R<5)+p_{10}P(R<5-x_3)+p_{01}P(R<x_3). \) Siendo \( p_{ij} \) indicando la probabilidad de que \( x_3=i \) y \( x_4=j \). Derivando respecto a \( x_3 \) creo que se puede probar la concavidad de \( g(x_3) \) entre los puntos de discontinuidad.
 
Eso implica que la probabilidad se minimiza cuando \( x_i \) tiende a un entero y por ende \( x_j \) también debe ser entero y obviamente siguen cumpliendo que pertence a alguna ecuación de sumas parciales iguales a \( 1+n \). Creo que su prueba puede ser parecida a la de este post donde se probó que \( f(x_n) \) era creciente.