Hola
Pruebe que la composición de transformaciones lineales ortogonales son ortogonales.
Dem:
Sea \( T:V\rightarrow{V} \) con \( V \) con producto interno y sobre el cuerpo \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) \( / T^*=T^{-1} \)
Sea \( S:V\rightarrow{V} \) con \( V \) con producto interno y sobre el cuerpo \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) \( / T^*=T^{-1} \)
Quiero probar que \( (T\circ{S})^*=(T\circ{S})^{-1} \)
Aplico propiedad de la compuesta de la adjunta
\( (T\circ{S})^*=S^*\circ{T^*} \)
Por hipotesis
\( (T\circ{S})^*=S^*\circ{T^*}=S^{-1}\circ{T^{-1}} \)
Aplico propiedad de inversa de la compuesta
\( (T\circ{S})^*=S^*\circ{T^*}=S^{-1}\circ{T^{-1}}=(T\circ{S})^{-1} \)
Esta bien? porque tengo otra que es usando un teorema que dice que es ortogonal si solo si es isometria sobreyectiva y la prueba es mas larga, esta que hice yo me parece mas corta 
Tengo dudas de como te han definido transformación ortogonal.
En principio la definición que yo conozco es que es ortogonal si conserva el producto interno, es decir si:
\( <T(u),T(v)>=<u,v> \)
Con esa definición lo que te piden probar es muy inmediato sin más que tener en cuenta que:
\( <T(S((u)),T(S(v))>=<S(u),S(v)>=<u,v> \)
donde se usa primero que \( T \) es ortogonal y luego que lo es \( S \).
En dimensión finita no hay problema con seguir cualquiera de los caminos que has indicado.
Sin embargo con esta definición y
en dimensión infinita, una aplicación ortogonal no tiene porque tener inversa ni adjunta. Con lo cual no valdría la caracterización que dices.
Pero tampoco sería cierto que una aplicación ortogonal fuese necesariamente sobreyectiva; así que tampoco valdría el otro método que dices.
Por eso tengo dudas sobre la definición que te han dado de ortogonal.
Saludos.
