Estimado Rincón:
Veo muy complicado demostrar lo que quieres sólo utilizando la definición de límite, sería más sencillo utilizar el siguiente teorema general para límites de funciones en espacios métricos (o topológicos):
- Si \( \lim_{v\to w}f(v)=L_1 \) y \( \lim_{v\to w}g(v)=L_2 \) entonces \( \lim_{v\to w}h(f(v),g(v))=h(L_1,L_2) \) para cualquier función continua \( h \).
Entonces tienes un límite de la siguiente forma:
\[
\lim_{v\to c}p(f(v),\operatorname{sen}(g(v)))
\]
donde \( p:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto x\cdot y \), \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto y \), y \( g:\mathbb{R}\times (\mathbb{R}\setminus \{0\})\to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto x/y \), y donde \( c=(\pi/3,2) \). Si conoces, o demuestras, que todas las funciones involucradas son continuas, entonces tienes que \( \lim_{v\to c}p(f(v),\operatorname{sen}(g(v)))=p(f(c),\operatorname{sen}(g(c))) \), que te da el resultado deseado al sustituir.
Efectivamente, así es, y además mi libro de texto así lo plantea también. Pensaba que una demostación \( \epsilon-\delta \) era la vía para abordar este lío. Pero creo que no.
Primero, gracias por haber estado ahí donde mi despiste era del quince.
Escribo el texto del libro, luego las dos dudas que me quedan:
"
Límites y continuidadAntes de abordar esta sección convendría revisar los conceptos de entorno, conjuntos abiertos y cerrados, y puntos interior y frontera (...).
El concepto de límite de una función de varias variables es similar al de funciones de una sola variable. Por claridad presentaremos la definición sólo para el caso de funciones de dos variables; el caso general es similar.
Podríamos decir que \( f(x,\,y) \) se aproxima al límite \( L \) cuando el punto \( (x,\,y) \) al punto \( (a,\,b) \), y escribiríamos
\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(0,\,0)}}f(x,\,y)=L \)
si todos los puntos de un entorno de \( (a,\,b) \), excepto posiblemente del propio punto \( (a,\,b) \), pertenecen al dominio de \( f \), y si \( f(x,\,y) \) se aproxima a \( L \) cuando \( (x,\,y) \) se aproxima a \( (a,\,b) \). Sin embargo es más cómodo definir el límite de forma que \( (a,\,b) \) pueda ser también un punto frontera del dominio de \( f \). Por tanto, nuestra definición formal generalizará también la noción de límite unilateral
DEFINICIÓN 2: Definición de límiteSe dice que \( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(0,\,0)}}f(x,\,y)=L \), cuando:
(i) Todo entorno de \( (a,\,b) \) contiene puntos del dominio de \( f \) diferentes de \( (a,\,b) \).
(ii) Para todo entero positivo \( \epsilon \) existe un número positivo \( \delta=\delta(\epsilon) \) tal que \( |f(x,\,y)-L|<\epsilon \) se cumple siempre que \( (x,\,y) \) esté en el dominio de \( f \) y satisfaga
\( 0<\displaystyle\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \)
La condición (i) se incluye en la Definición 2 porque no es apropiado considerar límites en puntos
aislados del dominio de \( f \), es decir, en puntos con entornos que no contengan ningún otro punto del dominio.
Si existe límite es único. En el caso de una función de una sola variable \( f \), la existencia de \( \lim_{x\rightarrow{a}}f(x) \) implica que \( f(x) \) se acerca al mismo número finito cuando \( x \) tiende a \( a \), bien por la izquierda, bien por la derecha. De forma similar, en el caso de una función de dos variables, en el caso de una función de dos variables, podemos tener \( \lim_{(x,\,y)}f(x,\,y)=L \) sólo si \( f(x,\,y) \) se acerca a \( (a,\,b) \) siguiendo cualquier curva que esté en \( \mathfrak{D}(f) \). No es necesario que \( L=f(a,\,b) \), incluso cuando \( f(a,\,b) \) esté definido.Los ejemplos posteriores ilustran estas afirmaciones,
Todas las leyes habituales de los límites se extienden al caso de funciones de varias variables de forma obvia. Por ejemplo, si \( \lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}f(x,\,y)=L \), \( \lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}g(x,\,y)=M \) y todo entorno de \( (a,\,b) \) contiene puntos de \( \mathfrak{D}(f)\cap{\mathfrak{D}(g)} \) distintos de \( (a,\,b) \), entonces
\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}{(f(x,\,y)\pm{g(x,\,y))}}={L\pm{M}} \)
\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}{f(x,\,y)g(x,\,y)}=LM \)
\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}\cfrac{f(x,\,y)}{g(x,\,y)}=\cfrac{L}{M}\quad{M\neq{0}} \)
Además, si \( F(t) \) es continua en \( t=L \), entonces
\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}F(f(x,\,y))=F(L) \)
Ejemplo 1(...)
(c) \( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(\pi/3,\,2)}}y\sin{\bigg (\cfrac{x}{y}\bigg)=2\sin{\bigg(\ \cfrac{\pi}{6}\bigg)}}=1 \)
(...)
Ejemplo 3 Investigue el comportamiento límite de \( f(x,\,y)=\cfrac{2xy}{x^2+y^2} \) cuando \( (x,\,y) \) tiende a \( (0,\,0) \)
Solución Nótese que \( f(x,\,y) \) está definido para todos los puntos del plano \( xy \) excepto el origen \( (0,\,0) \). Podemos preguntarnos todavía si existe \( \lim_{(x,\,y)\rightarrow{(0,\,0)}}f(x,\,y) \). Si hacemos que \( (x,\,y) \) tienda a \( (0,\,0) \) a lo largo del eje \( x(y=0) \) entonces \( f(x,\,y)=f(x,\,0)\rightarrow{0} \) (ya que \( f(x,\,0)=0 \) idénticamente). Por lo tanto \( \lim_{(x,\,y)\rightarrow{(0,\,0)}}f(x,\,y) \) debe ser \( 0 \), si es que existe. Sin embargo, en los puntos de la recta \( x=y \), \( f \) tiene un valor constante diferente: \( f(x,\,x)=1 \). Como el límite de \( f(x,\,y) \) es \( 1 \) cuando \( (x,\,y) \) tiende a \( (0,\,0) \) por esa recta, se deduce que \( f(x,\,y) \) no puede tener un límite único en el origen. Es decir,
\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(0,\,0)}}\cfrac{2xy}{x^2+y^2} \) no existe
"
Dudas(...)podemos tener \( \lim_{(x,\,y)}f(x,\,y)=L \) sólo si \( f(x,\,y) \) se acerca a \( (a,\,b) \) siguiendo cualquier curva que esté en \( \mathfrak{D}(f) \).
(i) ¿A qué se refiere con seguir cualquier curva? Mi intento es que equipara curva a cualquier camino seguido de \( \mathfrak{D}(f) \). Pero no veo curvas en el sentido etimológico; por ejemplo en el
Ejemplo 3 arriba mencionado.
(ii) La función seno y las coordenadas cartesianas son continuas. ¿En el
Ejemplo 1, se aplica \( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(a,\,b)}}F(f(x,\,y))=F(L) \)? Yo pienso que definitivamente sí.
Un saludo.
