Por si interesa, una demostración de por qué las series dadas no convergen para casi ningún punto, se sigue al demostrar que la sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) de residuos \( x_n:=\{nx\}:=nx-\lfloor nx \rfloor \), para cualquier \( x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), es densa en \( [0,1] \), ya que \( \operatorname{sen}(ny)=\operatorname{sen}(ny+2\pi m) \) para todo \( m \in \mathbb{Z} \) y por tanto si \( y:=2\pi x \) entonces \( \operatorname{sen}(ny)=\operatorname{sen}(2\pi x_n) \), y la sucesión \( \{2\pi x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es densa en \( [0,2\pi] \) (y por tanto la imagen de tal sucesión por la función seno es densa en \( [-1,1] \)).
Por otro lado si \( x\in \mathbb{Q} \) entonces la sucesión \( \{ \operatorname{sen}(ny)\}_{n\in\mathbb{N}} \) es periódica, y por tanto la serie asociada convergerá si y solo si \( \operatorname{sen}(ny)=0 \) para todo \( n \), es decir, si y solo si \( y\in \pi \mathbb{Z} \).
Luego con tiempo dejo una demostración de la densidad de la sucesión inicial \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \).
Actualización: una demostración elemental de la densidad de \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) en \( [0,1] \), cuando \( x \) es irracional, sigue estos pasos:
1) Como \( x \) es irracional, se puede ver que \( x_n\neq x_m \) si y solo si \( n\neq m \), ya que de otro modo de las definiciones se sigue que \( x \) sería racional.
2) Como \( [0,1] \) es compacto, entonces existe una subsucesión \( \{x_{n_j}\}_{j\in\mathbb{N}} \) que es Cauchy, y como todos los \( x_n \) son diferentes, eso significa que para cada \( \epsilon >0 \) existen \( n,m\in \mathbb{N} \) tales que \( 0<x_n-x_m<\epsilon \), que para \( \epsilon <1 \) implica que \( x_n-x_m=x_{n-m} \).
3) Sea \( d:=|n-m| \), entonces si \( 0 <x_{-d}<\epsilon<1 \) se sigue que existe \( m\in \mathbb{N} \) tal que \( 1-\epsilon <x_{-md}<1 \), y como \( x_{-j}=1-x_j \) (cuando \( x\notin \mathbb{Z} \), como en este caso) finalmente tenemos que \( 0<x_{md}<\epsilon \).
Spoiler
Tenemos que \( \frac1{m+1}<x_{-d}<\frac1{m}\leqslant \epsilon \) para algún \( m \in \mathbb{N} \), entonces
\[
1-\epsilon \leqslant 1-\frac1{m}<1-\frac1{m+1}=\frac{m}{m+1}<mx_{-d}=x_{-md}<\frac{m}{m}=1
\]
4) Es decir, del paso 2) y 3) se sigue que existe una subsucesión \( \{x_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) tal que \( \lim_{k\to \infty }x_{n_k}=0 \), de lo cual finalmente se concluye la densidad de \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \), ya que si para cada \( n\in \mathbb{N} \) existen \( j,m\in \mathbb{N} \) tales que \( \frac1{m+1}<x_j<\frac1{m}\leqslant \frac1{n} \) entonces
\[
\frac{k}{m}<\frac{k+1}{m+1}<(k+1)x_j=x_{(k+1)j}<\frac{k+1}{m}\text{ para todo }k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}
\]
∎
La demostración es laboriosa, y no he puesto todos los pasos. Al final es más sencilla una demostración como la que plantea
delmar. Desconozco si hay una manera más sencilla de demostrar la densidad de \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) en \( [0,1] \) (para \( x \) irracional).
