[Norges Grey Pérez]

Crea un fichero semejante a un triángulo isósceles formado por celdas (k);  llena cada celda con números consecutivos desde 1 hasta n. Comienza con una sola celda arriba, y ve creciendo simétricamente hacia abajo, cada fila inferior tendrá (k+2) celdas respecto a la superior. Veras una columna central perfectamente alineada verticalmente y centradas respecto al eje central.

Así:

                        1
                     2 3 4
                  5 6 7 8 9
      10 11 12 13 14 15 16
 17 18 19 20 21 22 23 24 25
...

La columna central (una celda por fila, todas alineadas) contiene los valores:

1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, ...

Entre ellos aparecen primos como:

3, 7, 13, 31, 43, 73, ...

Conjeturamos que la columna central contendrá infinitos números primos.   



Ejercicio: Qué número ocupará la celda central de la fila 99 999 ?   

[Pie]

Qué número ocupará la celda central de la fila 99 999 ?

Spoiler

El último número de cada fila es un cuadrado perfecto, luego el número central viene dado por:

\[ a_n=\frac{(n-1)^2 + 1 + n^2}{2} = n^2-n+1 \]

Así el número pedido es:

\[ a_{99999} = 99999^2-99999 +1 = 9999700003 \]

[cerrar]

Saludos.

[anartesi]

Hola, el polinomio que usó Pie creo se puede pensar así. 
(Quise subir la imagen para que se vea pero no lo logré)

[feriva]

Crea un fichero semejante a un triángulo isósceles formado por celdas (k);  llena cada celda con números consecutivos desde 1 hasta n. Comienza con una sola celda arriba, y ve creciendo simétricamente hacia abajo, cada fila inferior tendrá (k+2) celdas respecto a la superior. Veras una columna central perfectamente alineada verticalmente y centradas respecto al eje central.

Así:

                        1
                     2 3 4
                  5 6 7 8 9
      10 11 12 13 14 15 16
 17 18 19 20 21 22 23 24 25
...

Buenos días, Norges. Esa conjetura es sumamente interesante. De momento tenemos que parece que implica una versión débil de Polignac, dado que las diferencias de los números de la columna central van dando la sucesión de los pares:3-1=2, 7-3=4...

Ah, no, no siempre son primos

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Ejercicio: Qué número ocupará la celda central de la fila 99 999 ?

Otra forma similar...

Spoiler

\( \begin{array}{c|c}\mbox{Fila}&\mbox{número central}\\\hline
1&1\\\hline 2&3\\\hline 3&7\\\hline 4&13\\\hline \vdots&\vdots\\\hline n &a_n\\\hline\end{array} \).
El término \( a_n \) es \( \dfrac{b_n+c_n}{2} \) donde \( b_n \) es el término general de la sucesión \( 1,2,5,10,17,26\ldots \), es decir, \( b_n=(n-1)^2+1 \), y \( c_n \) es el término general de la sucesión \( 1,4,9,16,25,\ldots \), es decir, \( c_n=n^2 \), luego \( a_n=\dfrac{(n -1)^2+1+n^2}{2}=n^2-n+1 \), con lo que el número central de la fila \( 99.999 \) es \( a_{99.999}=\boxed{9.999.700.003} \)

[cerrar]

Saludos