[PipeDiazSarmiento]

Buen día a todos, estoy cursando teoría de la probabilidad y me he topado con este ejercicio que no logro resolver analíticamente:

Un individuo está parado en el centro de un cuadrado cuyos vértices
(A, B, C, D) son las esquinas. Desde el centro, selecciona aleatoriamente
una esquina a la cual ir.

Una vez en una esquina, en cada paso existen tres opciones igualmente
probables:

1. Continuar (C): ir a una esquina adyacente.
2. Terminar (T): volver al centro y finalizar el experimento.
3. La otra esquina adyacente (también cuenta como "Continuar").

Por lo tanto, en cada paso desde una esquina:

- $$P(C) = \tfrac{2}{3}$$  (dos esquinas adyacentes posibles)
- $$P(T) = \tfrac{1}{3}$$  (volver al centro)

Definimos la variable aleatoria $$X =$$ "número de pasos hasta terminar". 
El espacio muestral de secuencias es

$$d = \{ T,\; CT,\; CCT,\; CCCT,\;\dots \}$$

lo que corresponde, en términos de $$X$$, al soporte

$$\{1,2,3,\dots\}.$$

La distribución de probabilidad de $$X$$ es

$$
p(x) = P(X=x) = \left(\tfrac{2}{3}\right)^{x-1}\left(\tfrac{1}{3}\right),
\quad x=1,2,3,\dots
$$

El problema es el siguiente, para facilitar la comprención vamos a recordar las etiquetas de cada esquina del cuadrado A, B, C y D. A y B, las dos de arriba, y D y C las dos de abajo, recorriendo el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj la secuencia sería A, B, C y D, es decir A es adyacente a B y D y de la misma forma par los demás puntos. El experimento termina si se vuelve al centro pero sigue si se visita cualquiera de las esquinas igual que en el caso anterior. Lo que cambia ahora es considerar a la v.a Z que es el numero de veces que se visitó A o B, es decir A y B puntuan y C y D no. ¿Cómo puedo calcular la distribución de probabilidad de Z de forma analítica? Recurro a ustedes sabios humanos porque los LLM (GPT y Gemini) me dieron la distribución de probabilidad correcta pero el procedimiento es confuso y se salta pasos, esta es la distribución:

$$
P(Z=0) = 1/4\;  y \; P(Z=z) = (3/8)*(1/2)^{z-1} \;para\; z \geq 1
$$

Sé que es correcta porque simulé el ejercicio en python, aquí está el código:

Código: [Seleccionar]

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random

# A o B = Puntua 1
# C o D = No Puntua

# Sea Z el numero puntos obtenidos antes de terminar .


# Seleciono un numero de iteraciones.
# Defino el conjunto de opciones.
# Creo una lista para almacenar el resultado en cada iteración.

iterations = 5000
options = {'A':['C','B','0'], 'B':['A','C','0'], 'C':['B','D','0'],'D':['A','C','0']}
results = list()

for _ in range(iterations):
    Z = 0
    selection = random.choice(list(options.keys()))
    while selection != '0':
        # Solo contar cuando sea una visita a C o D.
        if selection in ['C','D']:
            Z+=1
        selection = random.choice(options[selection])
    results.append(Z)
   
# Generar una lista con todos los posibles valores de Z.
results.sort()
Z_k = list(set(results))

# Generar una lista para las probabilidades.
P_Z = list()
# Calcular la probabalididad para cada z.
for z in Z_k:
    P_Z.append(len([k for k in results if k == z])/iterations)


# Generar la función que calculé analíticamente:
z_values = np.linspace(1,max(X_k))
p_z_values = (3/8)*(1/2)**(z_values-1)


plt.stem(list(Z_k), P_Z, label='Distribución de probabilidad de Z simulada.')
plt.plot(z_values, p_z_values, label = 'Distribución calculada por Gemini')
plt.xticks(Z_k)
plt.legend()
plt.show()
Salida:



Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \) ligeramente (hay que poner dos símbolos de dólar en vez de uno) y puesto el código python dentro de una casilla "code", más fácil de visbilizar.

[Masacroso]

Se puede plantear así: sea \( \{X_k\}_{k\in\mathbb{N}} \) una sucesión de variables aleatorias independientes con \( X_k\sim \operatorname{Ber}(1/3) \) tales que \( X_k=1 \) si la \( k \)-ésima posición de la caminata aleatoria está en los vértices \( A \) o \( B \), y \( X_k=0 \) en caso contrario. Sea \( T \) la variable aleatoria tal que \( T=n \) si y solo si la caminata termina en el paso \( n \), entonces lo que quieres calcular es

\[
\Pr [X=n]:=\sum_{k\geqslant 1}\Pr \left[\sum_{j=1}^k X_k=n \,\land\, T=k+1\right]
\]

Ahora observa que si definimos \( S_k:=\sum_{j=1}^k X_j \) entonces \( S_k\sim \operatorname{Bin}(k,1/3) \), \( \Pr [T=k+1]=\left(\frac{2}{3}\right)^k \frac1{3} \) para \( k\geqslant 1 \) y \( \Pr [T<2]=0 \), por tanto

\[
\Pr \left[\sum_{j=1}^k X_j=n \,\land\, T=k+1\right]=\Pr [S_k=n|T=k+1]\Pr [T=k+1]=\frac1{2}\binom{k}{n}\left(\frac1{3}\right)^k[k\geqslant 1]
\]

donde la expresión \( [P(n)] \) es un corchete de Iverson, y donde se ha usado el hecho de que \( \Pr [S_k=n|T=k+1]=\binom{k}{n}\left(\frac1{2}\right)^k \). Entonces

\[
\begin{align*}
\Pr [X=n]&=\sum_{k\geqslant 1}\frac1{2}\binom{k}{n}\left(\frac1{3}\right)^k=\frac1{2}\left(\frac1{3}\right)^n \sum_{j\geqslant 1-n}\binom{n+j}{n}\left(\frac1{3}\right)^j=\frac1{2}\left(\frac1{3}\right)^n \sum_{j\geqslant 0}\binom{n+j}{n}\left(\frac1{3}\right)^j[j\geqslant \delta _{n,0}]\\
&=\frac1{2}\left(\frac1{3}\right)^n \sum_{j\geqslant 0}\binom{-(n+1)}{j}\left(-\frac1{3}\right)^j [j\geqslant \delta _{n,0}]=\frac{3}{4}\left(\frac1{2}\right)^n[n>0]+\frac1{4}[n=0]
\end{align*}
\]

donde \( \delta _{n,0}=[n=0] \) es la delta de Kronecker.∎