[alucard]

Hola tengo una duda con el siguiente ejercicio
Siendo \( f(x)=x^2+1, g(x)=-2x+6 \) hallar gof indicando dominio e imagen 

Bueno ,si es gof la imagen de f debe estar incluida en el dominio de g o sea  \( [1,+\infty)\subseteq{R} \)

por ende el dominio de gof es el dominio de f.

En la imagen es donde tengo dudas, cuando hago la composición me queda \( gof(x)=4-2x^2 \) cuya imagen es de \( (-\infty,4] \)
lo que no me cierra (mas que nada debe ser por un tema de teoría) la imagen de la composición no debe ser la imagen de g, o sea todos los reales ?
Tenia entendido que si se cumple que que la imagen de f esta incluido el en dominio de g, entonces el dominio de \( gof=dom f \) y la imagen de \( gof=imf g \)

[Masacroso]

lo que no me cierra (mas que nada debe ser por un tema de teoría) la imagen de la composición no debe ser la imagen de g, o sea todos los reales ?

No, eso no se cumple en general, ya que la imagen de \( f \) puede ser un subconjunto cualquiera. Por ejemplo, supón que \( f(x)=3 \) para todo \( x \), entonces \( (g\circ f)(x)=g(3) \) para todo \( x \).

[alucard]

lo que no me cierra (mas que nada debe ser por un tema de teoría) la imagen de la composición no debe ser la imagen de g, o sea todos los reales ?

No, eso no se cumple en general, ya que la imagen de \( f \) puede ser un subconjunto cualquiera. Por ejemplo, supón que \( f(x)=3 \) para todo \( x \), entonces \( (g\circ f)(x)=g(3) \) para todo \( x \).

Entonces no se puede asegurar que la imagen de la composición en mi ejemplo tenga la misma imagen de g, lo que esta asegurado es el dominio , entonces para la imagen de la composición debo analizarla una vez compuesta la función , es así ?
No entendí del todo el ejemplo que me propones 

[Masacroso]

lo que no me cierra (mas que nada debe ser por un tema de teoría) la imagen de la composición no debe ser la imagen de g, o sea todos los reales ?

No, eso no se cumple en general, ya que la imagen de \( f \) puede ser un subconjunto cualquiera. Por ejemplo, supón que \( f(x)=3 \) para todo \( x \), entonces \( (g\circ f)(x)=g(3) \) para todo \( x \).

Entonces no se puede asegurar que la imagen de la composición en mi ejemplo tenga la misma imagen de g, lo que esta asegurado es el dominio , entonces para la imagen de la composición debo analizarla una vez compuesta la función , es así ?

Sí.

No entendí del todo el ejemplo que me propones 

El ejemplo demuestra que si la imagen de \( f \) consta de un único punto, entonces la imagen de \( g\circ f \) también será de un único punto, independientemente de la imagen que tenga \( g \), la cual podría ser un conjunto incontable. Por ejemplo si \( g(x)=x^2+1 \) entonces \( \operatorname{img}(g)=[1,\infty ) \) pero con la función \( f(x)=3 \) constante de antes tienes que \( \operatorname{img}(g\circ f)=\{10\} \).

[alucard]

lo que no me cierra (mas que nada debe ser por un tema de teoría) la imagen de la composición no debe ser la imagen de g, o sea todos los reales ?

No, eso no se cumple en general, ya que la imagen de \( f \) puede ser un subconjunto cualquiera. Por ejemplo, supón que \( f(x)=3 \) para todo \( x \), entonces \( (g\circ f)(x)=g(3) \) para todo \( x \).

Entonces no se puede asegurar que la imagen de la composición en mi ejemplo tenga la misma imagen de g, lo que esta asegurado es el dominio , entonces para la imagen de la composición debo analizarla una vez compuesta la función , es así ?

Sí.

No entendí del todo el ejemplo que me propones 

El ejemplo demuestra que si la imagen de \( f \) consta de un único punto, entonces la imagen de \( g\circ f \) también será de un único punto, independientemente de la imagen que tenga \( g \), la cual podría ser un conjunto incontable. Por ejemplo si \( g(x)=x^2+1 \) entonces \( \operatorname{img}(g)=[1,\infty ) \) pero con la función \( f(x)=3 \) constante de antes tienes que \( \operatorname{img}(g\circ f)=\{10\} \).

Ahi lo vi¡¡¡¡¡ muchas gracias , tenia mal la teoría

[ani_pascual]

Hola:

...
En la imagen es donde tengo dudas, cuando hago la composición me queda \( gof(x)=4-2x^2 \) cuya imagen es de \( (-\infty,4] \)
lo que no me cierra (mas que nada debe ser por un tema de teoría) la imagen de la composición no debe ser la imagen de g, o sea todos los reales ?
...

Me parece que \( Im(g\circ f)=g(Im(f))=g([1,\infty))=(-\infty,4] \)
Saludos