Hola
Sea \( R \) una relación definida en \( \mathbb{Z}\setminus \{0\} \) definida como:
\( aRb \longleftrightarrow \exists m,n\in \mathbb{N}_0: \dfrac{a}{b}=2^m3^n. \)
a) Demostrar que \( R \) es una relación de orden en \( \mathbb{Z}\setminus \{0\} \).
b) Explicar si \( R \) es un orden total en \( \mathbb{Z}\setminus \{0\} \).
¿Qué has intentado? Para ver que es de orden tienes que probar las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Pistas:
- Para reflexiva nota que \( 1=2^0\cdot 3^0 \).
- Para la antisimétrica que de la definición de la relación se deduce que si:
\( aRb \) entonces \( a=2^m3^nb \) con \( m,m\geq 0 \) y así \( a\geq b \).
- La transitiva es muy inmediata teniendo en cuenta que:
\( \dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{c} \)
Para (b) ¿existe alguna relación entre \( 1 \) y \( 5 \) por ejemplo?.
Saludos.
