[Chorite]

Hola, tengo el siguiente problema, pero no lo logro entender bien la solucion. El ejercicio pide hallar el cardinal del conjunto \[ B = \mathbb{Q} \times \mathbb{R}  \]

Solucion Propuesta:

\[
B = \mathbb{Q} \times \mathbb{R}
\]

donde

\[
\mathbb{Q} \times \mathbb{R} = \left\{ (r, y) \mid r \in \mathbb{Q},\ y \in \mathbb{R} \right\}
\]

sabemos que:

\[
\mathbb{Q} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}^2
\]Con \( \mathbb{R^2}\sim{\mathbb{R}} \)

Debemos utilizar la propiedad que establece que \( A\subseteq{B}\subseteq{C} \) y \( A\sim{C} \Rightarrow{A\sim{C}} \wedge B\sim{C} \)

Definimos

\[
\{0\} \times \mathbb{R} = \left\{ (0, y) \mid y \in \mathbb{R} \right\}
\]

Luego,

\[
\{0\} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}^2
\]

Utilizando la propiedad anteriormente formulada, y sabiendo que el cardinal de \(\mathbb{R}^2 = \mathfrak{c}\), nos queda que:

\[
\mathbb{Q} \times \mathbb{R} \sim \mathbb{R}^2
\]

y por lo tanto,

\[
\#(\mathbb{Q} \times \mathbb{R}) = \mathfrak{c}
\]

A grandes razgos entiendo el planteo. Lo que no me queda claro es cual es la necesidad de recurrir a \[ \{0\} \times \mathbb{R}  \] cuando en realidad ya de por si el conjunto de los reales es coordinable con \[ \mathbb{R^2} \]. ¿Sabrian explicarme el por qué de esa parte? Muchas gracias

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Sabrian explicarme el por qué de esa parte? Muchas gracias

Supongo que recurre al uso de \( \{0\}\times \mathbb{R} \) para aplicar la propiedad que mencionas; cualquier conjunto que es subconjunto y a la vez superconjunto de conjuntos de igual cardinalidad tiene la misma cardinalidad, en este caso, \( \mathfrak{c} \),
y si no me equivoco..., se podría escribir así:
\( \#(\mathbb{Q}\times\mathbb{R})=\#(\mathbb{Q})\cdot \#(\mathbb{R})=\aleph_0\cdot c=c \)
Saludos

[Chorite]

Hola:

...
¿Sabrian explicarme el por qué de esa parte? Muchas gracias

Supongo que recurre al uso de \( \{0\}\times \mathbb{R} \) para aplicar la propiedad que mencionas; cualquier conjunto que es subconjunto y a la vez superconjunto de conjuntos de igual cardinalidad tiene la misma cardinalidad, en este caso, \( \mathfrak{c} \),
y si no me equivoco..., se podría escribir así:
\( \#(\mathbb{Q}\times\mathbb{R})=\#(\mathbb{Q})\cdot \#(\mathbb{R})=\aleph_0\cdot c=c \)
Saludos

Hola Ani, gracias por la respuesta. Lo que no logro entender es por qué es necesario agregar \[ \left\{{0}\right\} \] para aplicar dicha propiedad, mas concretamente, por qué no podría quedar de esta forma:
 \[
\ \mathbb{R} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}^2
\]

[ani_pascual]

...
 Lo que no logro entender es por qué es necesario agregar \[ \left\{{0}\right\} \] para aplicar dicha propiedad, mas concretamente, por qué no podría quedar de esta forma:
 \[
\ \mathbb{R} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}^2
\]

Supongo que es porque \( \mathbb{R} \), en realidad, no es un subconjunto de \( \mathbb{Q}\times\mathbb{R} \) y \( \{0\}\times\mathbb{R} \) sí lo es
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Ani, gracias por la respuesta. Lo que no logro entender es por qué es necesario agregar \[ \left\{{0}\right\} \] para aplicar dicha propiedad, mas concretamente, por qué no podría quedar de esta forma:
 \[
\ \mathbb{R} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}^2
\]

Incidiendo en lo que te apunta ani_pascual, fíajte que los elementos de \( \mathbb{Q}\times \mathbb{R} \) son de la forma \( (a,b) \) con \( a \) un número racional y \( b \) un número real.

Mientras que los de \( \Bbb R \) son simplemente de la forma \( x \), con \( x \) número real. Entonces ese \( x \) así tal cual no es un elemento de la forma \( (a,b) \). Por tanto \( \Bbb R \) no es un subconjunto de \( \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \).

Entonces el truco para poder considerar una copia de \( \Bbb R \) como subconjunto de \( \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \), es fijarle una primera coordenada racional, por ejemplo nula. Es decir \( (0,x) \) si es un elemento de \( \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \).

Y por tanto \( \{0\}\times \Bbb R \) SI es un subconjunto de \( \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \).

Y trivialmente \( \Bbb R \) y \( \{0\}\times \Bbb R \) son biyectivos y por tanto tienen el mismo cardinal.

Saludos.

[manooooh]

Hola

El ejercicio pide hallar el cardinal del conjunto \[ B = \mathbb{Q} \times \mathbb{R}  \]

¿No sería simplemente?:

\( |B|=|\mathbb{Q} \times \mathbb{R}|=|\Bbb{Q}|\cdot|\Bbb{R}|=\aleph_0\cdot2^{\aleph_0}. \)



Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
¿No sería simplemente?:

\( |B|=|\mathbb{Q} \times \mathbb{R}|=|\Bbb{Q}|\cdot|\Bbb{R}|=\aleph_0\cdot2^{\aleph_0}. \)


...

... y ese cardinal ¿no sería igual a \( 2^{\aleph_0} \)?
 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿No sería simplemente?:

\( |B|=|\mathbb{Q} \times \mathbb{R}|=|\Bbb{Q}|\cdot|\Bbb{R}|=\aleph_0\cdot2^{\aleph_0}. \)

Como indica ani_pascual, eso es cierto. Pero se puede simplificar más, porque se cumple (y es lo que se prueba en el ejercicio) que:

\( \aleph_0\cdot2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0} \)

Saludos.