En lo anterior entiendo que \( \int _B 𝟙_{X}(x)\,d x \) es la integral de Riemann. En cualquier caso no creo que pueda ayudarte, no he utilizado nunca la idea de volumen de Jordan así que no conozco resultados relacionados con la misma que me esclarezcan un proceder, es decir, sé lo que te piden demostrar, pero no sé el camino que podría usar para demostrarlo de tal modo que los pasos te resulten conocidos.
Básicamente te están pidiendo demostrar que la integral de Lebesgue es más general que la de Riemann, al menos en lo que respecta a la hora de integrar funciones características. Pero como digo, no conozco el camino teórico que están tomando para eso.
Algo que se me ocurre: si \( A \) tiene volumen de Jordan entonces de otro tema se tenía que \( \operatorname{vol}(\overline{A})=\operatorname{vol}(A) \), entonces podrías empezar considerando un conjunto \( A \) compacto (es decir, cerrado y acotado). Una cobertura contable por rectángulos se puede modificar ligeramente agrandando los rectángulos para que sea una cobertura contable de rectángulos abiertos, por tanto \( A \) tiene una cobertura finita de rectángulos abiertos. A partir de ahí quizá puedas mostrar, con los resultados que tengas del volumen de Jordan, que \( A \) tiene volumen de Jordan cero (además de medida \( m \)-dimensional cero).
Luego eso deberías poder generalizarlo a un conjunto \( A \) con volumen de Jordan que no sea necesariamente compacto.
Finalmente, para la segunda parte, podrías intentar demostrar que si \( A \) tiene volumen de Jordan cero entonces existe un \( B\subset A \) cuyo volumen de Jordan no está definido. Esto no tengo muy claro cómo podrías hacerlo. De hecho esto no es cierto para todo \( A \) de medida de Jordan cero, tiene que ser un \( A \) suficientemente complejo, como por ejemplo un rectángulo con uno de los lados con longitud cero, y \( B \) podría ser algún conjunto contable y denso en \( A \).
Añadido.
