[iuxta_illud]

Hola, qué tal. Una consulta.

¿Es válido decir que \(  xRy \wedge yRx \Rightarrow x=y \) es equivalente en teoría de conjuntos a \(  R\cap R^{-1}\subseteq I \), con \( I=\left\{ (x,y)\in A\times A | x=y\right\} \)? ¿Es cierto que no podría ser que \(  R\cup R^{-1}\subseteq I \)?

Muchas gracias.

[ani_pascual]

Hola:

Hola, qué tal. Una consulta.

¿Es válido decir que \(  xRy \wedge yRx \Rightarrow x=y \) es equivalente en teoría de conjuntos a \(  R\cap R^{-1}\subseteq I \), con \( I=\left\{ (x,y)\in A\times A | x=y\right\} \)? ¿Es cierto que no podría ser que \(  R\cup R^{-1}\subseteq I \)?

Muchas gracias.

Tiene pinta de que sí. 
Si, por hipótesis, es \( xRy\wedge yRx\Longrightarrow x=y \) entonces dado \( (x,y)\in R\cap R^{-1} \), resulta que \( (x,y)\in R\,\,\wedge (x,y)\in R^{-1}\Longrightarrow xRy\wedge yRx \), luego \( x=y \), de donde \( (x,y)\in I \), es decir, \( R\cap R^{-1}\subset I \). Recíprocamente, si \( R\cap R^{-1}\subset I \), entonces dados \( x,y \) tales que \( xRy\wedge yRx \) se tiene que \( (x,y)\in R\wedge (x,y)\in R^{-1} \), es decir, \( (x,y)\in R\cap R^{-1}\subset I \), y así \( x=y \).
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, qué tal. Una consulta.

¿Es válido decir que \(  xRy \wedge yRx \Rightarrow x=y \) es equivalente en teoría de conjuntos a \(  R\cap R^{-1}\subseteq I \), con \( I=\left\{ (x,y)\in A\times A | x=y\right\} \)?

Si. Que \( xRy \wedge yRx  \) equivale a que \( (x,y)\in R \) e \( (y,x)\in R \) y a su vez a que \( (x,y)\in R\cap R^{-1} \). Y que [te]x=y[/tex] equivale a que \( (x,y)\in I \).

¿Es cierto que no podría ser que \(  R\cup R^{-1}\subseteq I \)?

Eso estaría mal.

Por ejemplo la relación  \( \leq  \) en \( 1,2 \) es antisimétrica, pero no es cierto que \( R=\{(1,1),(1,2),(2,2)\} \) cumpla \( R\cup R^{-1}\subset I \).

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó ani_pascual.

[iuxta_illud]

Muchas gracias por las respuestas.

Saludos.