[ani_pascual]

Hola:

... debería usar la definición de topología para probar eso, pero primero tengo que acostumbrarme a todas esas letras juntas...

...algo de eso me sucede a mí cuando me enfrento a la lectura de algunos mensajes sobre la axiomática de la teoría de conjuntos (ZFC, ...) que escriben en este foro quienes la dominan.
Intentaré traducir...
El ejercicio que te sugiero, y que, en efecto, requiere que  uses los requisitos para que una familia de subconjuntos de un conjunto dado \( X \), sea una topología, es que pruebes que dada la base de topología \( {\cal B} \) formada por las bolas de \( \mathbb{R}^n \), entonces la familia \( \tau({\cal B}) \) formada por todos aquellos subconjuntos de \( \mathbb{R}^n \) que se pueden expresar como unión de bolas de \( \mathbb{R}^n \), cumple los requisitos para ser una topología en \( \mathbb{R}^n \), de la cuál \( {\cal B} \) es base. Espero que ahora se entienda un poco mejor...
Saludos

[Masacroso]

Hola

¿Quieres decir que los conceptos de topología general te parecen intuitivos? A mí ni por asomo. ¿Los axiomas que definen una topología te parecen algo "evidente" a la hora de crear una herramienta para expresar la continuidad de funciones?

No. Por eso la forma natural de introducirse en la topología es a partir de la topología euclídea. Y a partir de ahí se va subiendo el nivel de abstracción, hasta llegar a la definición abstracta y más general de una topología.

Es decir, como casi todo en matemáticas, los conceptos más abstractos nacieron de generalizar conceptos los más intuitivos.

Pero eso es una forma pedagógica de enseñar topología, yo no veo que la topología tenga su origen en los espacios euclídeos, más bien tiene su origen en muchas cosas a la vez, de los espacios euclídeos por sí solos no creo que haya surgido la topología general.

No dudo de que la topología en el plano o el espacio tenga elementos "intuitivos", pero no creo que tengan mucho que ver con la topología general. Dicho de otro modo, ¿te parece intuitivo que un intervalo abierto es algo que pueda caracterizar las funciones intuitivamente continuas? Si es así tenemos una visión muy distinta de lo que es intuitivo.

¡Cómo no van a tener qué ver!. La topología general nace intentando generalizar la posibilidad que tenemos en espacios métricos de hablar de puntos cercanos.

Me refiero a lo siguiente: si a alguien le enseñan sobre espacios euclídeos como espacios métricos (que son homogéneos, espacios vectoriales, isótropos, la distancia euclídea, etcétera) de ahí sin más no sale ninguna idea de "conjunto abierto" o de topología. Tienen que pasar muchos siglos para que de esos espacios métricos se busque generalizar algo que subyace en ellos a otros lados para expresar continuidad. A eso me refiero con el "no tienen nada que ver", que son conceptos originalmente muy distantes. De hecho la idea de "conjunto" aplicado a algo topológico nace con Cantor, y la idea misma de "conjunto", al menos para mí, es muy poco intuitiva o no surge de manera espontánea de los espacios métricos en concreto.

Yo me pongo en la piel de un estudiante, ¡que posiblemente no sepa todavía muy bien lo que es un conjunto! Y no veo que nada de esto esté "claramente relacionado", sea "natural" o "intuitivo". Digamos que son maneras de enseñar una teoría, pero ya está, que a gente instruída como nosotros nos pueda parecer "natural" pero que a alguien que lo empieza a ver ahora quizá no.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero eso es una forma pedagógica de enseñar topología, yo no veo que la topología tenga su origen en los espacios euclídeos, más bien tiene su origen en muchas cosas a la vez, de los espacios euclídeos por sí solos no creo que haya surgido la topología general.

Claro. Las generalizaciones surgen de exportar las ideas de un área donde es familiar a otra o tener una visión más general de ellas. Si la única topología que se hiciese y necesitase fuese la euclídea, probablemente no se hubiese llegado a la definición abstracta  conjuntista de topología.

Por otro lado, es que yo estoy hablando en gran medida desde un punto de vista pedagógico y por tanto de facilitar la comprensión de las cosas.

Me refiero a lo siguiente: si a alguien le enseñan sobre espacios euclídeos como espacios métricos (que son homogéneos, espacios vectoriales, isótropos, la distancia euclídea, etcétera) de ahí sin más no sale ninguna idea de "conjunto abierto" o de topología. Tienen que pasar muchos siglos para que de esos espacios métricos se busque generalizar algo que subyace en ellos a otros lados para expresar continuidad. A eso me refiero con el "no tienen nada que ver", que son conceptos originalmente muy distantes. De hecho la idea de "conjunto" aplicado a algo topológico nace con Cantor, y la idea misma de "conjunto", al menos para mí, es muy poco intuitiva o no surge de manera espontánea de los espacios métricos en concreto.

Es que yo no pretendo defender que de unos casos particulares (que sí son intuitivos), cualquiera llegue a la versión más abstractas de los mismos. Ese camino lo han abierto los grandes genios y pensadores en la historia de las matemáticas.

Yo me pongo en la piel de un estudiante, ¡que posiblemente no sepa todavía muy bien lo que es un conjunto!

¿Pero es tan difícil tener una idea de qué es un conjunto? Otra cosa es tener digamos una idea profunda, precisa, de todas sus vertientes y consecuencias.... Pero imaginar un conjunto de puntos en el plano...

Yo lo que se es que cuando estudié topología abstracta en la medida que puede en mi cabeza y en el papel, seguí dibujando circulitos y regiones para escenificar mis abiertos. Incluso en espacios donde no se respetaban algunas propiedades de los euclídeos como ser Hausdorff (por decir algo) con algún recurso para visualizar esa no separación...

Y no veo que nada de esto esté "claramente relacionado", sea "natural" o "intuitivo". Digamos que son maneras de enseñar una teoría, pero ya está, que a gente instruída como nosotros nos pueda parecer "natural" pero que a alguien que lo empieza a ver ahora quizá no.

Yo no digo que sea natural, pero si que se basa en abstraer casos particulares donde tenemos una noción más intuitiva. Entonces uno ve esa definición abstracta y dice: "¡pero cómo se le pudo ocurrir esto a alguien¡!!..., pero, y aquí viene lo bueno, también dice... "¡qué bien se adapta a la topología euclídea y a sus nociones intuitivas!¡qué bien se recuperan los resultados conocidos con ese nuevo punto de vista!".

Saludos.

[Masacroso]

Un último off-topic.

Bueno, sí, es verdad Luis, hay una muy buena analogía de un conjunto como una región de un plano (o del espacio). No es un concepto tan abstracto como parece. Quizá haya cosas que me parezcan menos intuitivas de lo que realmente pueden ser. Me he ido acostumbrando, salvo en áreas matemáticas muy concretas, a pensar en términos no-geométricos, y a veces (como en este caso) hay buenas analogías geométricas que hacen un concepto mucho más intuitivo de lo que parece si uno sólo se queda con su definición.

Suelo preferir un aprendizaje (para mí) de lo que los ingleses llaman top-down sobre el down-top, es decir, de lo más abstracto a lo más concreto (pero teniendo en cuenta aplicaciones concretas a posteriori, que es lo que más me motiva). Por eso no me quedo muchas veces con una idea geómetrica de algo. Mucha otra gente prefiere el down-top, es decir, de lo concreto a lo general, que en este caso es desde las topologías euclídeas y su relación con la función distancia a la teoría abstracta general.

Quizá por eso pueda ser, o parecer, más "mecánico" o formalista y declinar un poco la idea de intuición en muchas cosas. Todo esto creo que viene de mi antigua afición por la filosofía, donde la mayoría de conceptos que se manejan no son geométricos ni visuales, son sumamente abstractos y se aprehenden por contexto y relacionando las propiedades de unos con otros, de ahí me habrá quedado esta forma de conceptualizar las cosas.