[anartesi]

Hola, tengo el conjunto $$X=\left\{{a,b,c}\right\}$$ y la topología $$T=\left\{{\emptyset,X, \left\{{a}\right\},\left\{{b}\right\}},\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\}\right\}$$ (ya comprobé que es una topología)..
Mi pregunta es la siguiente: los subconjuntos de $$X$$, $$\left\{{c}\right\}$$ y $$\left\{{b,c}\right\}$$ ¿serían cerrados?

[Fernando Revilla]

Hola, tengo el conjunto $$X=\left\{{a,b,c}\right\}$$ y la topología $$T=\left\{{\emptyset,X, \left\{{a}\right\},\left\{{b}\right\}},\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\}\right\}$$ (ya comprobé que es una topología)..
Mi pregunta es la siguiente: los subconjuntos de $$X$$, $$\left\{{c}\right\}$$ y $$\left\{{b,c}\right\}$$ ¿serían cerrados?

Los complementarios de esos tres subconjuntos son abiertos, por tanto los tres subconjuntos son cerrados.

[Masacroso]

¿es lo mismo decir que no son abiertos a decir que son cerrados?

No, no es lo mismo. Usa las definiciones para verlo, es decir, \( A\subset X \) es cerrado si y solo si \( A^\complement \subset X \) es abierto. Pero es posible que ni \( A \) ni \( A^\complement  \) sean abiertos, por tanto su complementario no es cerrado. Un ejemplo clásico es el conjunto \( \mathbb{Q} \) en la topología estándar de \( \mathbb{R} \), que ni es cerrado ni abierto.

Por otro lado es posible que un conjunto sea abierto y cerrado, eso ocurre en toda topología con los conjuntos \( \emptyset  \) y \( X \). Y en el caso de que \( \tau =2^X \) (la llamada topología discreta sobre \( X \)) entonces cualquier subconjunto de \( X \) sería cerrado y abierto (como se puede comprobar fácilmente de lo anteriormente dicho).

Espero que esto te haya aclarado algo.

[ani_pascual]

Hola:.

...
 ¿es lo mismo decir que no son abiertos a decir que son cerrados?

Por si te interesa...
otros ejemplos de conjuntos que no son abiertos ni cerrados en \( (\mathbb{R},\tau_u) \) son los intervalos del tipo \( [a,b), (a,b] \) con \( a<b \)
Imagina que te proponen la siguiente topología en \( X \):
\( \tau=\{\emptyset, X, \{a\},\{a,b\}\} \).
Entonces \( \{b\} \) no es abierto y tampoco es cerrado; lo mismo sucede con  con \( \{a,c\} \) 
Saludos