Hola
¿Cuál es el área mínima que puede tener un cuadrado en el plano que tenga en su interior exactamente 3 puntos de coordenadas enteras ?
Hola, estoy pensando en este ejercicio, los puntos no pueden estar sobre los lados del cuadrado, porque no estarían en su interior, entonces el lado del cuadrado no puede ser 2.
Lo único que se me ocurrió es sacar la medida del lado de la sucesión $$a_n= 2 + \displaystyle\frac{1}{n}$$ con n en los naturales
Pero tal vez haya algo más certero…
Gracias!
Entiendo que puedes poner los puntos enteros en la disposición que quieras.
Fíjate que en un cuadrado el segmento más largo que puede estar en su interior mide a lo sumo su diagonal (aproximándose tanto como queramos a ella pero sin alcanzarla si queremos que los extremos del segmento se mantenga estrictamente en el interior).
Ahora dados tres puntos con coordenadas enteras, la forma de colocarlos donde la máxima distancia entre cualquier par de ellos sea la más pequeña posible es como en un triángulo de cateto \( 1 \) (véase el dibujo de la derecha).
Ahora un cuadrado que los contenga necesariamente debe de contener a la hipotenusa de tal triángulo que mide \( \sqrt{2} \). Por tanto la diagonal de ese cuadrado mide más de \( \sqrt{2} \) (acerándose tanto como queramos a ese valor).
Equivalentemente si la diagonal se acerca a \( \sqrt{2} \) el lado del cuadrado se acerca a \( 1 \). Así que el ínfimo de las áreas de los cuadrados que contienen a tres puntos de coordenadas enteras es \( 1^2=1 \).
En la izquierda he puesto el caso de los puntos alineados, y lo más juntos posibles. Pero obviamente el cuadrado tendría que tener diagonal mayor que \( 2 \) en ese caso.
Saludos.
