[bruuune]

Hola! ¿Me ayudarían a interpretar la figura de este ejercicio? Creo que así me sería más fácil sacarlo, gracias y saludos. 

Sean tres puntos alineados \( A, B \) y \( C \). Se consideran las semicircunferencias \( \mathcal{E}_1 \) de diámetro \( \overline{AB} \) y \( \mathcal{E}_2 \) de diámetro \( \overline{AC} \), ubicadas en semiplanos opuestos.
Por un punto \( I \in \overline{AB} \), se traza la perpendicular a \( \overline{AB} \) que corta a \( \mathcal{E}_1 \) en \( M \) y a \( \mathcal{E}_2 \) en \( N \), y sea \( \overline{MB} \cap \overline{NC} = \{P\} \).

1. Probar que el cuadrilátero \( MANP \) es inscriptible.
2. Probar que los triángulos \( \triangle APB \) y \( \triangle APC \) son semejantes.
3. Probar que \( AP^2 = AB \cdot AC \).

[Pie]

Te dejo un dibujo y te ayudo con los dos primeros (lo dejo en spoiler por si lo quieres pensar antes, aunque en el dibujo ya incluí algunas pistas  ), el tercero tengo que pensarlo un poco más.. 

Spoiler

El cuadrilátero \( MANP \) es inscriptible por tener dos ángulos rectos opuestos (por ser \( AB \) y \( AC \) diámetros de las circunferencias).

Y los triángulos \( \triangle{APB} \) y \( \triangle{APC} \) son semejantes porque \( \widehat{MPA} = \widehat{MNA} \) (por ser \( MANP \) inscriptible) y los triángulos rectángulos \(  \triangle{ANI}  \) y \( \triangle{ACN} \) son semejantes, de donde \( \widehat{ACP} = \widehat{BPA} \) (y \( \widehat{PAB} = \widehat{PAC} \)).

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

El tercero (más fácil de lo que pensaba  ):

Spoiler

Por la semejanza anterior tenemos:

\[ \frac{AP}{AC} = \frac{AB}{AP} \Longrightarrow{}  \]

\( AP^2 = AC\cdot{AB} \)

[cerrar]

Saludos.

[bruuune]

El tercero (más fácil de lo que pensaba  ):

Spoiler

Por la semejanza anterior tenemos:

\[ \frac{AP}{AC} = \frac{AB}{AP} \Longrightarrow{}  \]

\( AP^2 = AC\cdot{AB} \)

[cerrar]

Saludos.

Muchas gracias!! No me había llegado la notificación; mi profesor dijo que estaba bien.