Hola
Buenas tardes, tengo una duda sobre ideales primarios, y es la siguiente:
Sea \( R \) es un anillo cualquiera y \( I \) un ideal de este, probar que: \( I \) es ideal primario de \( R \) si y solo si \( I[ x ] \) es ideal primario de \( R[ x ] \)
La implicación de derecha a izquierda la tengo creo que bien pero de izquierda a derecha no sabría hacerla.
A ver si alguien me puede echar una mano, gracias!!
Supongo que trabajas en anillos conmutativos.
De manera autocontenida (
hay una serie de resultados previos que pueden aligerar la prueba).
Supón que \( I \) es primario y que \( p(x)q(x)\in I[x ] \), pero \( p(x)\not\in I[x ] \). Sea \( q(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n \).
Sea \( p'(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m \) el polinomio de menor grado tal que \( p'(x)\not\in I \) y \( p'(x)q(x)\in I[x ] \).
Entonces:
- Nota que \( a_nb_m\in I \) (porque es el coeficiente del término de mayor grado de \( p'(x)q(x)\in I[x ] \)).
- Sea \( p''(x)=a_np'(n)-a_nb_mx^m \) de grado \( <m \).
- Se tiene que \( p''(x)q(x)=a_n\underbrace{p'(n)q(x)}_{\in I[x ]}-\underbrace{a_nb_mx^mq(x)}_{\in I[x ]}\in I[x] \).
- Como \( p'(x) \) era el polinomio de menor grado tal que \( p'(x)\not\in I \) y \( p'(x)q(x)\in I[x ] \), entonces necesariamente \( p''(x)\in I[x] \).
- Es decir \( a_np'(n)-\underbrace{a_nb_mx^m}_{\in I[x ]}\in I[x] \) y así \( a_np'(x)\in I[x] \).
- Como \( p'(x)\not\in I(x) \) alguno de sus coeficientes no está en \( I \), pongamos \( b_i \). Por tanto \( a_nb_i\in I \), pero \( b_i\not\in I \). Por ser \( I \) primario deducimos que \( a_n^{k_n}\in I \) para algún \( k_n\in \Bbb N \).
- Ahora \( q'(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}=q(x)-a_nx^n \) cumple que:
\( q'(x)p'(x)=\underbrace{q(x)p'(x)}_{\in I[x ]}-\underbrace{a_np'(x)}_{\in I[x ]}x^n\in I[x ] \)
y por tanto repitiendo el argumento se deduce que \( a_{n-1}^{k_{n-1}}\in I \) para una cierta potencia \( k_{n-1} \).
De esta forma inductivamente se obtiene para todos los coeficientes de \( q(x) \), \( a_i^{k_ i}\in I \). Ahora es fácil ver que si se toma \( M\geq k_0+k_1+\ldots+k_n \) entonces \( q(x)^M\in I[x ] \).
Basta tener en cuenta que los coeficientes de esa potencia son de la forma:
\( a_0^{s_0}a_1^{s_1}\ldots a_n^{s_n} \)
con \( s_0+s_1+\ldots+s_n \). Si \( s_i\geq k_i \) para algún \( i \) ya tendríamos que \( a_i^{s_i}\in I \) y el producto de los demás coeficientes también está en \( I \).
En caso contrario \( s_i<k_i \) para todo \( i \) y:
\( M=s_0+s_1+\ldots+s_n<k_0+k_1+\ldots+k_n\leq M \). Contradicción.
Saludos.
P.D. Una simplificación es pasar al cociente y usar/probar que si \( A \) es un anillo donde todo divisor de cero es nilpotente, entonces \( A[x] \) también cumple esa propiedad.
