[Julio_fmat]

En \( R\setminus \{0\} \), definimos la relación \( aRb \iff \dfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}. \)

a) Demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia

b) Determinar \( [1]. \)

c) Demostrar que \( [\sqrt{3}]=[\sqrt{12}]. \)


Hola, para demostrar que \( R \) es de equivalencia debo demostrar que la relación \( R \) es reflexiva, simétrica y transitiva. No me queda claro cómo calcular las clases en este caso, y demostrar que esas clases son iguales.

[Luis Fuentes]

Hola

En \( R\setminus \{0\} \), definimos la relación \( aRb \iff \dfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}. \)

a) Demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia

b) Determinar \( [1]. \)

c) Demostrar que \( [\sqrt{3}]=[\sqrt{12}]. \)


Hola, para demostrar que \( R \) es de equivalencia debo demostrar que la relación \( R \) es reflexiva, simétrica y transitiva.

Si.

No me queda claro cómo calcular las clases en este caso

Como en cualquier otra relación de equivalencia:

\( [b ]=\{a\in \Bbb R-\{0\}|aRb\}=\{a\in \Bbb R-\{0\}|a/b\in \Bbb Q\}=\{a\in \Bbb R-\{0\}|a=bq\text{ con }q\in \Bbb Q\} \)

, y demostrar que esas clases son iguales.

Pues dos clases de dos elementos son iguales si y sólo si los elementos que los definen están relacionados entre si. Así que para ver que \( [\sqrt{3}]=[\sqrt{12}] \) sólo tienes que comprobar que \( \sqrt{3}R\sqrt{12} \); equivalemente que \( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}\in \Bbb Q \).

Saludos.