Dice lo siguiente:
Enunciado:
Sea \(\{x_n\}_{n=0}^{\infty}\) una sucesión decreciente de números reales positivos.
Si la serie condensada
\[
\sum_{n=0}^{\infty} 2^n x_{2^n} = x_1 + 2x_2 + 4x_4 + 8x_8 + \cdots
\]
converge, entonces la serie original \(\sum_{n=0}^{\infty} x_n\) también converge.
Quiero saber si es cierto el recíproco, es decir si se puede demostrar que la convergencia de la serie original implica la de la serie condensada o en caso de ser falso me gustaría encontrar un contraejemplo que consista en una serie convergente cuya serie condensada diverja.
Tengo a mano la demostración del criterio de condensación pero no he podido avanzar nada en la cuestión del recíproco.
