[Nub]

Hola

1) \( f(x,y,z)=sin(x^2+y^2+z^2) \)

Quiero calcular los conjuntos de nivel, lo primero que veo es que si \( f(x,y,z)=sin(x^2+y^2+z^2)=a \) entonces \( a\in{[-1,1]} \)

Si \( a\not\in[-1,1]\Rightarrow{C_a=\emptyset} \)
Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a=...} \)
No se que poner ahi... podria hacer algo asi: \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \) luego \( x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a) \) y bueno, luego Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a={(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}/x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a)}}} \)

¿Hay una mejor forma?

Gracias

[Fernando Revilla]

1) \( f(x,y,z)=sin(x^2+y^2+z^2) \)
Quiero calcular los conjuntos de nivel, lo primero que veo es que si \( f(x,y,z)=sin(x^2+y^2+z^2)=a \) entonces \( a\in{[-1,1]} \)
Si \( a\not\in[-1,1]\Rightarrow{C_a=\emptyset} \)
Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a=...} \)No se que poner ahi... podria hacer algo asi: \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \) luego \( x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a) \) y bueno, luego Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a={(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}/x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a)}}} \)

Es correcto y la solución natural.

[Nub]

1) \( f(x,y,z)=sin(x^2+y^2+z^2) \)
Quiero calcular los conjuntos de nivel, lo primero que veo es que si \( f(x,y,z)=sin(x^2+y^2+z^2)=a \) entonces \( a\in{[-1,1]} \)
Si \( a\not\in[-1,1]\Rightarrow{C_a=\emptyset} \)
Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a=...} \)No se que poner ahi... podria hacer algo asi: \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \) luego \( x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a) \) y bueno, luego Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a={(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}/x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a)}}} \)

Es correcto y la solución natural.

Gracias Fernando

[Masacroso]

No se que poner ahi... podria hacer algo asi: \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \) luego \( x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a) \) y bueno, luego Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a={(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}/x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a)}}} \)

¿Hay una mejor forma?

Observa que debería ser más bien \( \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\in \sin^{-1}(a)\} \) ya que \(\sin^{-1}(a)\) es un conjunto, no un punto.

Se puede ser algo más específico si usamos la función arcoseno, que es la inversa del seno en el rango de valores \([-\pi/2,\pi/2]\). Entonces tenemos que \(\sin ^{-1}(a)=\{\arcsin (a)+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\pi-\arcsin (a)+2k\pi :k\in \mathbb{Z}\}\). Por tanto podemos decir que si \(a\in [-1,1]\) entonces

\[
f^{-1}(a)=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: \exists k\in \mathbb{Z}(x^2+y^2+z^2=k\pi +(-1)^k \arcsin (a))\}
\]

[Fernando Revilla]

No se que poner ahi... podria hacer algo asi: \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \) luego \( x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a) \) y bueno, luego Si \( a\in[-1,1]\Rightarrow{C_a={(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}/x^2+y^2+z^2=sin^{-1}(a)}}} \)

¿Hay una mejor forma?

Observa que debería ser más bien \( \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\in \sin^{-1}(a)\} \) ya que \(\sin^{-1}(a)\) es un conjunto, no un punto.

No entiendo a qué te refieres. Para la función \( \sin^{-1}: [-1,1]\to [-\pi/2,\pi/2] \) y \( a\in [-1,1] \), \( \sin^{-1}(a) \) es un número perfectamente definido.

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo a qué te refieres. Para la función \( \sin^{-1}: [-1,1]\to [-\pi/2,\pi/2] \) y \( a\in [-1,1] \), \( \sin^{-1}(a) \) es un número perfectamente definido.

Lo que quiere decir Masacroso es que en realidad el curvaconjunto de nivel de \( f(x,y,z)=0 \) (por ejemplo) es la familia de esferas (incluída una de radio cero):

\( \displaystyle\bigcup_{k\in \Bbb Z_0^+}\{(x,y,z)\in \Bbb R^3|x^2+y^2+z^2=2k\pi\} \)

Porque independientemente de que consideres la función inversa del seno como función ("normal", no multivaluada) el hecho es que hay infinitos valores de \( x^2+y^2+z^2 \) tales que \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \).

Saludos.

P.D. CORREGIDO

[Fernando Revilla]

Lo que quiere decir Masacroso es que en realidad la curva de nivel de \( f(x,y,z)=0 \) (or ejemplo) es la familia de esferas (incluída una de radio cero):
\( \displaystyle\bigcup_{k\in \Bbb Z_0^+}\{(x,y,z)\in \Bbb R^3|x^2+y^2+z^2=2k\pi\} \)
Porque independientemente de que consideres la función inversa del seno como función ("normal", no multivaluada) el hecho es que hay infinitos valores de \( x^2+y^2+z^2 \) tales que \( sin(x^2+y^2+z^2)=a \).

Bien, el desglose del conjunto de nivel \( \sin (x^2+y^2+z^2)=k \) en unión de curvas es consecuencia inmediata de la periodicidad de la función seno. Acepto tamaño desglose, si bien no se pide.

[Luis Fuentes]

Hola

Bien, el desglose del conjunto de nivel \( \sin (x^2+y^2+z^2)=k \) en unión de curvas es consecuencia inmediata de la periodicidad de la función seno. Acepto tamaño desglose, si bien no se pide.

Leyendo tu respuesta me di cuenta de que hablé de curvas, pero en realidad tengo que decir conjuntos o en todo caso superficies de nivel... 

Saludos.