[Jauregui_Patiño]

Problema del cumpleaños:

a) Calcular la probabilidad \( p_r \) de que los cumpleaños de \( r \) estudiantes sean todos diferentes (asumir años de \( 365 \) días y que cada configuración de cumpleaños es equiprobable).

(b) A partir de la siguiente aproximación:  \( log(1 + u) \approx u \) si \( u \) es pequeño, dar una aproximación para \( log(p_r) \).

(c) Deducir a partir de qué cantidad de estudiantes, \( r \), la probabilidad de que hayan al menos dos que cumplan el mismo día es mayor a \( \displaystyle\frac{1}{2} \).
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Juan Pablo Sancho]

Sale bastante en el foro, por ejemplo:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=110791.msg438032#msg438032

[ani_pascual]

Hola:

a) Calcular la probabilidad \( p_r \) de que los cumpleaños de \( r \) estudiantes sean todos diferentes (asumir años de \( 365 \) días y que cada configuración de cumpleaños es equiprobable).

(b) A partir de la siguiente aproximación:  \( log(1 + u) \approx u \) si \( u \) es pequeño, dar una aproximación para \( log(p_r) \).

(c) Deducir a partir de qué cantidad de estudiantes, \( r \), la probabilidad de que hayan al menos dos que cumplan el mismo día es mayor a \( \displaystyle\frac{1}{2} \).

Una sugerencia... si no me he equivocado, que es probable 
a) \( P_r=\dfrac{V_{365,r}}{VR_{365,r}}=\dfrac{365\cdot 364\cdot \cdots \cdot  [365-(r-1)]}{365^r} \)

b) \( P_r=\dfrac{365}{365}\cdot\dfrac{364}{365}\cdots \dfrac{365-(r-1)}{365}\Longrightarrow \log P_r=\sum\limits_{k=0}^{r-1}\log\left(1+\dfrac{-k}{365}\right)\sim \sum\limits_{k=1}^{r-1}\dfrac{-k}{365}=\dfrac{r(1-r)}{2\cdot 365} \)

c) \( 1-P_r>\dfrac{1}{2}\Longrightarrow P_r<\dfrac{1}{2}\Longrightarrow \log P_r<-\log 2\Longrightarrow \dfrac{r(1-r)}{2\cdot 365}<-\log 2\Longrightarrow \dfrac{r(r-1)}{2\cdot 365}>\log 2\Longrightarrow r(r-1)>2\cdot 365\cdot  \log 2\simeq \textcolor{blue}{505,997} \), luego basta tomar \( r=\textcolor{blue}{23} \)
Corregido. Gracias Luis Fuentes  
Saludos

[delmar]

Hola

a) El suceso aleatorio o impredecible es una r-esima ordenada (siempre se puede ordenar el conjunto de estudiantes) formada por las fechas de cumpleaños de los r estudiantes ordenados. Un ejemplo es :
    1          2      ...             r
(2/Abril  11/Julio  ....       9 /Marzo)

Donde 2/Abril es la fecha de cumpleaños del estudiante 1, 11/Julio la fecha de cumpleaños del estudiante 2 ... hasta el estudiante r. Observa que la ordenada puede tener elementos repetidos, el 2 y el r estudiante podrían tener la misma fecha de cumpleaños.

El espacio muestral equiprobable formado por todas las r-esimas ordenadas posibles de fechas de cumpleaños es \( S=\left\{{(x_1,x_2,..,x_r) \ / \ x_i\in{\left\{{fechas \ del \  año}\right\}} \ i=1,2,..,r}\right\} \) el número total de elementos de S es \( n=365^r \)
El evento A lo constituyen las ordenadas tales que sus elementos son diferentes entre si,  \( A=\left\{{(x_1,x_2,..,x_r) \ / x_i\neq x_j, \ \forall{i\neq j}}\right\} \) la cantidad de elementos de A es \( m=365 \ (364) \ (363) \ ... \ (365-(r-1)) \) en consecuencia la probabilidad por ser equiprobables las ordenadas es :

\( Pr=\displaystyle\frac{m}{n}=\displaystyle\frac{365 \ (364) \ (363) \ ... \ (365-(r-1))}{365^r} \)


c) Las r-esimas ordenadas en que al menos 2 cumplen la misma fecha son n-m es decir el total menos las ordenadas en que todas las fechas de cumpleaños son diferentes. La probabilidad P es :

\( P=\displaystyle\frac{n-m}{n}=1-Pr \) hay que calcular el r tal que \( 1-Pr>\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{\displaystyle\frac{365 \ (364) \ (363) \ ... \ (365-(r-1))}{365^r}<\displaystyle\frac{1}{2}} \)

Con una hoja de cálculo (Excel) se obtiene que a partir de 23 para arriba. Ojo no he usado la aproximación recomendada en el apartado b) pero es un referente.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 ani_pascual: está todo bien salvo un error tonto en el cálculo.

c) \( 1-P_r>\dfrac{1}{2}\Longrightarrow P_r<\dfrac{1}{2}\Longrightarrow \log P_r<-\log 2\Longrightarrow \dfrac{r(1-r)}{2\cdot 365}<-\log 2\Longrightarrow \dfrac{r(r-1)}{2\cdot 365}>\log 2\Longrightarrow r(r-1)>2\cdot 365\cdot  \log 2\color{red}\simeq 219,75\color{black} \), luego basta tomar \( r=16 \)

Ahí has usado el logaritmo en base \( 10 \) en lugar de el logaritmo neperiano que es el que cumple la aproxiamción \( log(1+u)\approx u \).

Por eso en realidad \( 2\cdot 365\cdot log(2)\approx 506 \) y de ahí se obtiene la cota \( r=23 \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Hola

 ani_pascual: está todo bien salvo un error tonto en el cálculo.
...

Gracias por la corrección, Luis Fuentes . ¡No podía faltar mi error o errata de turno...! 
Saludos