[Quema]

Supongamos que tengo \( X \) e \( Y \) con soporte en \( \left\{{0,x}\right\} \) y \( \left\{{0,y}\right\} \) con \( 1<x,y\leq{}3 \) y probabilidades de \( X=x,Y=y \) iguales a \( 1/x,1/y \) respectivamente. Quiero hallar la mejor cota mínima de \( P(X+Y<3) \).

Lo planteé de esta forma

\( P(X+Y<3)=\displaystyle\frac{1}{y}P(X<3-y)+\left({1-\displaystyle\frac{1}{y}}\right)P(X<3), \) debería ser \( x=y=3. \) Lo pensé de esta forma \( P(X<3-y)=(1-1/x) \) y la \( P(X<3)=1-P(X=3)=2/3. \) Y me queda \( P(X+Y<3)=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{3y}-\displaystyle\frac{1}{xy}. \) Es como que quiero llegar a la cota \( \displaystyle\frac{4}{9} \) desde la izquierda, pero si reemplazo en la igualdad por \( x=y=3, \) me da \( 2/3. \) Creo que esto está mal \( P(X<3-y)=(1-1/x) \), esto solamente es cierto si \( 3-y\leq{}x \) en otro caso es 1.

[Luis Fuentes]

Hola

Supongamos que tengo \( X \) e \( Y \) con soporte en \( \left\{{0,x}\right\} \) y \( \left\{{0,y}\right\} \) con \( 1<x,y\leq{}3 \) y probabilidades de \( X=x,Y=y \) iguales a \( 1/x,1/y \) respectivamente. Quiero hallar la mejor cota mínima de \( P(X+Y<3) \).

Lo planteé de esta forma

\( P(X+Y<3)=\displaystyle\frac{1}{y}P(X<3-y)+\left({1-\displaystyle\frac{1}{y}}\right)P(X<3), \) debería ser \( x=y=3. \) Lo pensé de esta forma \( P(X<3-y)=(1-1/x) \) y la \( P(X<3)=1-P(X=3)=2/3. \) Y me queda \( P(X+Y<3)=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{3y}-\displaystyle\frac{1}{xy}. \) Es como que quiero llegar a la cota \( \displaystyle\frac{4}{9} \) desde la izquierda, pero si reemplazo en la igualdad por \( x=y=3, \) me da \( 2/3. \) Creo que esto está mal \( P(X<3-y)=(1-1/x) \), esto solamente es cierto si \( 3-y\leq{}x \) en otro caso es 1.

Sin pérdida de generalidad puedes suponer \( x\geq y \). Entonces:

- Si \( y\geq 3 \) entonces \( P(X+Y<3)=P(X=0)P(Y=0)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(1-\dfrac{1}{y}\right) \). Los dos términos que se multiplican son crecientes en \( x,y \). Por tanto el mínimo se alcanza cuando \( x=y=3 \) y es \( 4/9 \).

- Si \( x\geq 3>y \) entonces \( P(X+Y<3)=P(X=0)=1-\dfrac{1}{x} \). El mínimo se alcanza para \( x=3 \) y es \( 2/3 \).

- Si \( x,y<3 \) y \( x+y\geq 3 \) entoncee \( P(X+Y<3)=1-P(X=x)P(Y=y)=1-\dfrac{1}{xy} \). En este caso se puede ver que el mínimo se alcanza cuando \( x=y=3/2 \) y es \( 5/9 \).

- Si \( x,y<3 \) y \( x+y< 3 \) trivialmente \( P(X+Y<3)=1 \).

En definitiva el mínimo valor posible es \( 4/9 \).

Saludos.

[Quema]

Y no se puede extender este razonamiento para \( n \) variables aleatorias con \( 1<x_i\leq{}n+1 \) y analizar \( P(X_1+...+X_n<1+n) \), reduciendo escalonadamente las probabilidades como se hizo para el caso \( n=2 \) hasta que lleguemos a tener probabilidades del tipo \( P(X_1<n+1-\displaystyle\sum_{i=2}^n{x_i}). \) O sería intratable el análisis de los casos? O capaz que por inducción completa se pueda llegar a que el mínimo es cuando \( x=y=n+1. \)

[Luis Fuentes]

Hola

Y no se puede extender este razonamiento para \( n \) variables aleatorias con \( 1<x_i\leq{}n+1 \) y analizar \( P(X_1+...+X_n<1+n) \), reduciendo las probabilidades como se hizo para el caso \( n=2 \) hasta que lleguemos a tener probabilidades del tipo \( P(X_1<n+1-\displaystyle\sum_{i=2}^n{x_i}). \) O sería intratable el análisis de los casos? O capaz que por inducción completa se pueda llegar a que el mínimo es cuando \( x=y=n+1. \)

Pues tengo que mirar el caso \( n=3 \) y luego ver si se puede generalizar. Pero sospecho que debe de ser complicado sistematizar el asunto... La ramificación en casos crece exponencialmente creo.

Saludos.

[Quema]

Por inducción completa veo que los \( x_i \) en la hipótesis inductiva van de \( 1<x_i\leq{}n+1, \) pero luego en la tesis pasan a \( 1<x_i\leq{}n+2, \) y eso queda raro.

[Luis Fuentes]

Hola

Por inducción completa veo que los \( x_i \) en la hipótesis inductiva van de \( 1<x_i\leq{}n+1, \) pero luego en la tesis pasan a \( 1<x_i\leq{}n+2, \) y eso queda raro.

Es que el problema al menos sin una idea digamos rompedora, no se porta bien, no es adecuado, con un enfoque directo por inducción.

Saludos.

[Quema]

 Para \( n=3 \), si hice bien, me queda

\( P(X_1 + X_2 + X_3 < 4) = \frac{1}{x_3 x_2} P(X_1 < 4 - x_2 - x_3) + \frac{1}{x_3} \left(1 - \frac{1}{x_2}\right) P(X_1 < 4 - x_3) + \left(1 - \frac{1}{x_3}\right) \frac{1}{x_2} P(X_1 < 4 - x_2) + \left(1 - \frac{1}{x_3}\right) \left(1 - \frac{1}{x_2}\right) P(X_1 < 4). \)

Creo que se tiene

\[ P(X_1 + X_2 + \dots + X_n < n+1) = \sum_{\mathbf{b} \in \{0,1\}^{n-1}} \left( \prod_{i=2}^{n} \left[ \frac{1}{x_i} \right]^{b_{i-1}} \left[ 1 - \frac{1}{x_i} \right]^{1 - b_{i-1}} \right) P\left(X_1 < n+1 - \sum_{j=2}^{n} x_j \cdot b_{j-1}\right) \].

La probabilidad con sólo \( X_1 \) de la derecha puede valer: \( 0,\displaystyle\frac{1}{x_1}, 1-\displaystyle\frac{1}{x_1} \) o \( 1 \), no? Aunque no se si los casos a analizar queda tipo \( 2^n \) o simplemente se estudian los cuatros casos posibles de la probabilidad de \( X_1. \)

[Masacroso]

Estos temas suelen ser muy laboriosos, algunos artículos que he encontrado relacionados:

https://www.math.uni-trier.de/~roos/bin57.pdf
https://www.columbia.edu/~wt2319/PB.pdf
https://people.bu.edu/pekoz/shiftbinom.pdf

Los teoremas 2.1 y 2.2 mencionados en el segundo artículo (de Wenpin Tang y Fengmin Tang) son lo que buscaba intuitivamente el otro día confirmar cuando proponía lo de la convexidad aquí, y son la clave probablemente para resolver el tema de la minimización que empezó en el tema mencionado. Aquí dejo enlace a tres artículos donde se desarrollan tales teoremas:

https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematical-statistics/volume-27/issue-3/On-the-Distribution-of-the-Number-of-Successes-in-Independent/10.1214/aoms/1177728178.full
https://projecteuclid.org/journals/annals-of-probability/volume-3/issue-1/On-the-Distribution-of-the-Number-of-Successes-in-Independent/10.1214/aop/1176996461.full
https://www.ressources-actuarielles.net/EXT/ISFA/1226.nsf/0/069d7ef52c771fd0c1257e1d002a65cc/$FILE/A3n23.pdf

[Quema]

Podría ocurrir que la probabilidad \( P(X_1+...+X_n<1+n) \) fuera menor a \( 1/e \)?, si las v.a. son por ejemplo continuas, manteniendo los supuestos de media uno, no negativas e independientes.